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矩阵乘法几何意义

2018-08-13  风九天88
矩阵的几何意义,它可以总结为3个容易理解的特性。
变换(Transformations)你应该已经知道变换(transformation),它将任意3D点的坐标变换到另一个3D点的坐标。下图你可以看到3个基本变换的例子:​
矩阵乘法几何意义X

第一个变换只是简单地将3D空间中的所有点移动到左下方,这种变换叫做平移(translation)。第二个变换是旋转(rotation),所有点绕一个指定轴旋转,本例中是绕Z轴旋转。最后一个基本变换是缩放,所有点的坐标乘以一个特定的数值。我将它们称为基本变换,是因为你能想象的任何变换都可以用这三个基本变换的组合表示。
下图你可以看到平移的结果,然后还要进行旋转:
矩阵乘法几何意义
矩阵的3个特性
特性1:矩阵可以看做一个特殊(但并不复杂)的元素,可以表示上述变换。所以假如你有3个矩阵:Mtrans,Mrot和Mscal,它们分别对应一种变换。
​特性2: 如果你将一个矩阵乘以对应的3D点坐标,就可以获取变换后的点坐标,如下图所示:
矩阵乘法几何意义
这意味着对任意点,你可以简单地通过将它的坐标乘以一个矩阵获取它的投影、旋转和缩放!
特性3: 如果你将两个矩阵M1和M2相乘,会获得一个新矩阵M3。对应这个新矩阵M3的变换即对应前两个矩阵的变换组合。
第三个特性非常有用。例如上面平移后旋转的例子中,计算给定点的位置的一个方法是首先计算经过平移矩阵M1的变换,然后将结果乘以M2计算旋转,这让你必须为每个点计算2次,由下图表示:

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