【二项式定理】三道题让你读懂它！

高中数学研讨会

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三道题读懂二项式定理

l 什么是二项式定理？它是怎样推导出来的？

l 二项展开式的系数有哪些性质？

观察算式

你发现其中有什么规律吗？能根据你发现的规律写出一般地，

如果把右端展开，那么展开式的每一项都是从右端每个因式里分别取一个字母相乘而得的。

如果在个因式里取b（想一想，取a又怎样？），其余n-i个因式里取a那么相乘得到含的项。由于从n个因式里取i个因式的不同取法种数是，所以，在合并前的乘积中含

的项共有项。让i由小到大依次取0，1，2…，n，可得到的展开式为

我们把公式（2）称为二项式定理。公式右端叫做的二项展开式，它由n+1项组成，各项的系数

（i=0，1，2…，n）叫做二项式系数，a，b是二项式的字母，第k+1项叫做二项展开式的通项，可记为，即。

仔细观察二项展开式，可以发现如下性质：

（1）各项字母的次数之和为n；

（2）字母a的次数由n顺次减少到0，字母b的次数和系数中的i由0顺次增加到n；

（3）由组合数的性质可知首末两项系数为1，与首末两项的系数相等。

（4）当a=1,b=1时，。

1

1.若二项式的展开式中的系数为84，则实数a的值为（  ）

A.1          B.2           C.3          D.4          E.5

2

 2.若，则的值为（  ）

2

3.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项.

参考解析

Treasure in the heart

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例题1

例题2

例题3

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