上世纪80年代初开始的“分形热”一直热度不减。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。笔者记得当初在研究岩土工程，计算机编程，数值计算，计算机图形学及CAD设计与详图各个领域中都碰到了分形几何的问题！近期在用美篇做些文字和图形图象的工作，看到各界人士原创或分享的数以万计的图片与绘画，美轮美奂，气象万千，他们可能不在乎点阵图与矢量图的区别或联系，也不关注SLAM的发展与应用，但是应该了解一些与大自然万物、图形图像颇有渊源的分形几何与艺术。美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。 分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，是真正描述大自然的几何学。还改变了人们理解自然奥秘的途径和方式，你也许会清楚或朦胧地感受到分形之美或对你从事的行业有那些启发和潜在的发展趋势。笔者本人在《数字图形介质理论方法和应用》系列研究中，体会颇深，利用美篇分享也是一种图文並茂的好形式。尤其篇末的几个著名的分形几何动图，凝视並反复观察，你或许能更深刻地理解分形艺术的产生、发展与传播！如果你是一个建筑设计师，结构设计师，没准儿就能创意出一个依据分形艺术而成的建筑异彩来。
部分资料源于教材和网络，欢迎批评指正和交流。
(魏群篇首语）
20世纪70～80年代，产生了一门新的数学分支分形几何学。分形艺术的英文表述：fractal art，不规则几何元素Fractal，是由IBM研究室的数学家曼德勃罗特（Benoit.Mandelbrot，1924-2010）提出。
我们现在接触或理解的一般都是欧氏空间，即有三个维度的三维空间，把平面或球面看成是2维的，把直线或曲线看成是1维的。那么，有没有介于2和3之间的维数呢？比如2.168维是什么？或者说，在2维平面和3维空间之间充斥了什么东西？这确实是一个十分有趣的问题。 随看科学技术的进步，“分形几何学”就是研究这个问题的。
通俗一点说分形几何学就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。
分形几何学起先是相对于传统欧氏几何学的不足而建立的，由此发展起来的分形理论是现代非线性科学研究中的一门新兴数学分支，在众多学科领域里有着广泛的应用。它的研究对象是不光滑的、不规则的，甚至支离破碎的空间几何形态。
一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。
人类智慧从观察某些事物入手，像立体派画家那样做观察。“云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是光的，闪电不会沿直线行进”。所有这些自然结构都具有不规则形状，它们是自相似的。换言之，我们发现，把整体中的一部分放大便能进一步揭示其深层结构，它几乎就是我们一开始处理的那种原始结构的复制品。
动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。再例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这些例子在我们的身边到处可见。
在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分形。
现在，分形几何被用来描述各种复杂现象。分形还能帮助我们理解湍流，了解它如何产生以及自身的运动情况。
分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。
血管也可以认为是分形，因为它们可以被逐步细分成无限小的部分。它们进行所谓的“空间魔术”，将大的平面区域挤压成有限的体积。
全球有数百万人在观看分形数学当他们坐着看完《星球大战》三部曲时而他们自己并不知情。电影中外星球的地形就是在计算机里利用分形制作出来的。实际上，分形现在已成为电影特技的一个重要组成部分。
分形几何学可精确识别癌细胞。 美国克拉克森大学的研究人员发现，与健康细胞相比，癌细胞在外观上具有更为显著的分形特征。初步实验显示，以此为依据的检测均获得了极高的准确度。
他们还计划对健康细胞在癌变过程中的分形特征展开研究。
分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。
分形艺术不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作，用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案。
分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。
分形艺术”以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。她是科学上的美和美学上的美的有机结合。
同时她的自相似性又揭示了一种新的对称性，即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。 这种对称不同于欧几里德几何的对称，而是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。
普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底。
分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征，“分形艺术”与普通“电脑绘画”不同。
而“分形艺术”是用数学的手段进行创作， 作者要有很深的数学功底，同时要有色彩和造型方面的基本认识。
随着研究的广泛深入，分形艺术的外延已经不只局限于复数迭代产生的图象了， 放大图片的时候能在不丢失细节的前提下显现更多的细节层次，分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。
即使那些不了解分形科学的局外人和旁观者，偶尔涉猎到分形图案，也会被其美丽的几何形状、精致的图案结构以及迷人的色彩所打动，借助电脑、互联网，我们能欣赏到更多的分形艺术。
五、整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。
分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。
分形是研究复杂性科学的一个起始点，复杂性科学自上世纪70 年代诞生以来，经历了蓬勃的发展。
一个复杂自适应系统（如软物质，生物体，社会模型等等）必然存在更多的自相似性。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
为了能清楚认识到数学意义上的分形：欣赏下面这张图片和这段代码：你相信吗？这张图片就是这一段代码产生的图形。unsigned char RD(int i,int j)｛double a=0,b=0,c,d,n=0;while((c=a*a)+(d=b*b)<><880)｛b=2*a*b+j*8e-9-.645411;a=c-d+i*8e-9+.356888;｝return 255*pow((n-80)/800,3.);｝="" unsigned="" char="" gr(int="" i,int="" j)｛double="" a=""><><880)｛b=2*a*b+j*8e-9-.645411;a=c-d+i*8e-9+.356888;｝return 255*pow((n-80)/800,.7);｝="" unsigned="" char="" bl(int="" i,int="" j)｛double="" a=""><><880)｛b=2*a*b+j*8e-9-.645411;a=c-d+i*8e-9+.356888;｝return>
六 分形几何的三个特点。
分形的三个特点之一：
无限精细的结构，比例自相似性
这张图片完美的表现了分形的两个重要的特性：无限精细的结构，比例自相似性，自相似性是分形的灵魂，它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息。因为图片是代码生成，所以不存在像素问题，放大任何一个点都可以，如果你脑洞够大，你可以理解为：时间线。
分形的三个特点之二：
分数维大于它的拓扑维数
下面的分形图片就更好理解了。图中每一个小图案就是我们每一个灵魂，我们每一个灵魂代表了无穷小的个体。但我们无穷小的每个个体，都有宇宙无穷大的智慧。
分形的三个特点之三：
传统几何和分形的区别
传统几何其研究的是在旋转、平移、对称变换下各种不变的量，如角度、长度、面积、体积，其适用范围主要是人造的物体。而分形的历史只有20来年，它由递归、迭代生成，主要适用于自然界中形态复杂的物体。分形几何不再以分离的眼光看待分形中的点、线、面，而是把它看成一个整体。能代表分形几何这个亲近自然特性的最好例子就是斐波纳契数：(笔者将此动画附上，细观変化）
从根本上讲分形反映了自然界中某些规律性的东西,以植物为例，植物的生长是植物细胞按一定的遗传规律不断发育、分裂的过程。这种按规律分裂的过程可以近似地看作是递归、迭代过程，这与分形的产生极为相似。在此意义上，人们可以认为一种植物对应一个迭代函数系统。人们甚至可以通过改变该系统中的某些参数来模拟植物的变异过程。
分形几何也就是自然几何，以分形或分形的组合的眼光来看待周围的物质世界就是自然几何观。
分形几何，让数学来推演生命的演化从此有了可能。又或许，分形几何是造物主留给人类的一把钥匙，从男性能量（逻辑思维）的角度接近造物主，也成为了可能。以下各图是自然几何(分形几何)的典型。
不规则现象在自然界普遍存在，而分形几何学就被称为描述大自然的几何学~
1973年，数学家芒德勃罗(Benoit Mandelbrot)首次提出了分维和分形的设想。分形是一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状。
大自然是一个优秀的设计师，将许多事物有规律地组合在一起。菠萝按分形法则生长，冰晶以分形的形式出现……当分形出现在植物中时，可以使植物最大限度地暴露在阳光下，使氧更高效地输送到植物全身。分形是如此的美丽，而且在自然界中普遍存在……
罗马花椰菜，表面由许多螺旋形的小花所组成，小花以花球中心为对称轴成对排列，已经成为著名的分形几何模型
这一块有机玻璃暴露在强大的电流中，内部产生了一个分形的图案
数学家芒德勃罗为了研究分形是如何构造出来的，描述了一个具有自相似性、全息的芒德勃罗集合（Mandelbrot set），可以用下面的公式表示：按照上面的公式计算足够长的时间，你就会得到一个漂亮的分形！
除了芒德勃罗集合之外，还有许多其他类型的分形，以下是一些比较著名的例子。下图为科赫雪花；
谢尔宾斯基三角形Sierpinski Triangle
龙形曲线 Dragon Curve
动图
