第11讲反比例函数的图象和性质
知识清单梳理
知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质[来源:学#科#网] 关键点拨与对应举例 1.反比例函数的概念 形如y=(k≠0)的函数称为反比例函数,,自变量的取值范围是的一切实数.
①y=
例:函数y=3xm+1,当m=-2时,则该函数是反比例函数. 反比例函数的图象和性质 k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况 (1)判断点是否在反比例函数图象上的方法:①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式;②把点的横、纵坐标相乘,判断其乘积是否等于k.
失分点警示
(2)反比例函数值大小的比较时,首先要判断自变量的取值是否同号,即是否在同一个象限内,若不在则不能运用性质进行比较,可以画出草图,直观地判断. k>0 图象经过第象限
每个象限内,函数y的值随x的增大而. k<0 图象经过第象限
每个象限内,函数y的值随x的增大而. 3.反比例函数的图象特征 由两条曲线组成,叫做双曲线;
图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交;
)图象是中心对称图形. 例:若(a,b)在反比例函数的图象上,则(-a,-b)在该函数图象上.(填“在"、"不在") 待定系数法 只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数k即可. 例:已知反比例函数图象过点(-3,-1),则它的解析式是. 知识点二:反比例几何意义 5.系数k的几何意义 从反比例函数y=(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|
(2)常见的面积类型:
失分点警示
已知相关面积,求反比例函数的表达式,注意若函数图象在第二、四象限,则k<0.
例:已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比例函数解析式为:或. (1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性,可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解.
(2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解
(3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系,可采用假设法,分k>0和k<0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
(4)比较函数值的大小:主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方的值小,结合交点坐标,确定出解集的范围. 涉及与面积有关的问题时,①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积;②也要注意系数k的几何意义.
例:如图所示,三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为:S△AOC=S△OPE>S△BOD. 知识点 .一般步骤 (1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系;
(2设出函数表达式;
(3)依题意求解函数表达式;
(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
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