考点3代数式
一．选择题（共25小题）
1．（2018?齐齐哈尔）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（）
A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额
B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力
D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数
【分析】分别判断每个选项即可得．
【解答】解：A、若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额，正确；
B、若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长，正确；
C、将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力，正确；
D、若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则30a表示这个两位数，此选项错误；
故选：D．
2．（2018?大庆）某商品打七折后价格为a元，则原价为（）
A．a元 B．a元 C．30%a元 D．a元
【分析】直接利用打折的意义表示出价格进而得出答案．
【解答】解：设该商品原价为：x元，
某商品打七折后价格为a元，
原价为：0.7x=a，
则x=a（元）．
故选：B．
3．（2018?河北）用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（）
A．4cm B．8cm C．（a4）cm D．（a8）cm
【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．
【解答】解：原正方形的周长为acm，
原正方形的边长为cm，
将它按图的方式向外等距扩1cm，
新正方形的边长为（+2）cm，
则新正方形的周长为4（+2）=a8（cm），
因此需要增加的长度为a8﹣A=8cm．
故选：B．
4．（2018?临安区）10名学生的平均成绩是x，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（）
A． B． C． D．
【分析】整个组的平均成绩=15名学生的总成绩15．
【解答】解：先求出这15个人的总成绩10x5×84=10x+420，再除以15可求得平均值为．故选B．
5．（2018?枣庄）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（）
A．3a2b B．3a4b C．6a2b D．6a4b
【分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长﹣边长2b的小正方形的边长边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．
【解答】解：依题意有
3a﹣2b2b×2
=3a﹣2b4b
=3a+2b．
故这块矩形较长的边长为3a2b．
故选：A．
6．（2018?桂林）用代数式表示：a的2倍与3的和．下列表示正确的是（）
A．2a﹣3 B．2a3 C．2（a﹣3） D．2（a3）
【分析】a的2倍就是2a，与3的和就是2a3，根据题目中的运算顺序就可以列出式子，从而得出结论．
【解答】解：a的2倍就是：2a，
a的2倍与3的和就是：2a与3的和，可表示为：2a3．
故选：B．
7．（2018?安徽）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（）
A．b=（122.1%×2）a B．b=（122.1%）2a C．b=（122.1%）2a D．b=22.1%2a
【分析】根据2016年的有效发明专利数（1年平均增长率）2=2018年的有效发明专利数．
【解答】解：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b=（122.1%）2a．
故选：B．
8．（2018?河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（）
A． B． C． D．
【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．
【解答】解：设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，
假设A正确，则，x=1.5y，此时B，C，D选项中都是x=2y，
故A选项错误，符合题意．
故选：A．
9．（2018?贵阳）当x=﹣1时，代数式3x1的值是（）
A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】把x的值代入解答即可．
【解答】解：把x=﹣1代入3x1=﹣31=﹣2，
故选：B．
10．（2018?重庆）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（）
A．x=3，y=3 B．x=﹣4，y=﹣2 C．x=2，y=4 D．x=4，y=2
【分析】根据运算程序，结合输出结果确定的值即可．
【解答】解：A、x=3、y=3时，输出结果为322×3=15，不符合题意；
B、x=﹣4、y=﹣2时，输出结果为（﹣4）2﹣2（﹣2）=20，不符合题意；
C、x=2、y=4时，输出结果为222×4=12，符合题意；
D、x=4、y=2时，输出结果为422×2=20，不符合题意；
故选：C．
11．（2018?包头）如果2xa1y与x2yb﹣1是同类项，那么的值是（）
A． B． C．1 D．3
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出a、b的值，然后代入求值．
【解答】解：2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，
a+1=2，b﹣1=1，
解得a=1，b=2．
=．
故选：A．
12．（2018?武汉）计算3x2﹣x2的结果是（）
A．2 B．2x2 C．2x D．4x2
【分析】根据合并同类项解答即可．
【解答】解：3x2﹣x2=2x2，
故选：B．
13．（2018?淄博）若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（）
A．3 B．6 C．8 D．9
【分析】首先可判断单项式am﹣1b2与是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可．
【解答】解：单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，
单项式am﹣1b2与是同类项，
m﹣1=2，n=2，
m=3，n=2，
nm=8．
故选：C．
14．（2018?台湾）若小舒从150的整数中挑选4个数，使其由小到大排序后形成一等差数列，且4个数中最小的是7，则下列哪一个数不可能出现在小舒挑选的数之中？（）
A．20 B．25 C．30 D．35
【分析】A、找出7，20、33、46为等差数列，进而可得出20可以出现，选项A不符合题意；
B、找出7、16、25、34为等差数列，进而可得出25可以出现，选项B不符合题意；
C、由30﹣7=23，23为质数，3023＞50，进而可得出30不可能出现，选项C符合题意；
D、找出7、21、35、49为等差数列，进而可得出35可以出现，选项D不符合题意．
【解答】解：A、7，20、33、46为等差数列，
20可以出现，选项A不符合题意；
B、7、16、25、34为等差数列，
25可以出现，选项B不符合题意；
C、30﹣7=23，23为质数，3023＞50，
30不可能出现，选项C符合题意；
D、7、21、35、49为等差数列，
35可以出现，选项D不符合题意．
故选：C．
15．（2018?随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则mn的值为（）
A．33 B．301 C．386 D．571
【分析】由图形知第n个三角形数为12+3+…+n=，第n个正方形数为n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．
【解答】解：由图形知第n个三角形数为12+3+…+n=，第n个正方形数为n2，
当n=19时，=190200，当n=20时，=210200，
所以最大的三角形数m=190；
当n=14时，n2=196200，当n=15时，n2=225200，
所以最大的正方形数n=196，
则mn=386，
故选：C．
16．（2018?十堰）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）
A．2 B． C．5 D．
【分析】由图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案．
【解答】解：由图形可知，第n行最后一个数为=，
第8行最后一个数为==6，
则第9行从左至右第5个数是=，
故选：B．
17．（2018?临沂）一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）
A．原数与对应新数的差不可能等于零
B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大
【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【解答】解：设原数为a，则新数为，设新数与原数的差为y
则y=a﹣=﹣
易得，当a=0时，y=0，则A错误
﹣
当a=﹣时，y有最大值．
B错误，D正确．
当y=21时，﹣=21
解得a1=30，a2=70，则C错误．
故选：D．
18．（2018?绵阳）将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
35
7911
13151719
2123252729
…
按照以上排列的规律，第25行第20个数是（）
A．639 B．637 C．635 D．633
【分析】由三角形数阵，知第n行的前面共有12+3+…+（n﹣1）个连续奇数，再由等差数列的前n项和公式化简，再由奇数的特点求出第n行从左向右的第m个数，代入可得答案．
【解答】解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，
则前n﹣1行奇数的总个数为12+3+…+（n﹣1）=个，
则第n行（n3）从左向右的第m数为为第+m奇数，
即：12[+m﹣1=n2﹣n2m﹣1
n=25，m=20，这个数为639，
故选：A．
19．（2018?宜昌）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（）
A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20
C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6
【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得a、b、c的值．
【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，
a=1+5=6，b=5=10=15，c=1010=20，
故选：B．
20．（2018?重庆）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有4个三角形，第个图案中有6个角形第个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第个图案中三角形的个数为（）
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】根据第个图案中三角形个数4=22×1，第个图案中三角形个数6=22×2，第个图案中三角形个数8=22×3可得第个图形中三角形的个数为22×7．
【解答】解：第个图案中三角形个数4=22×1，
第个图案中三角形个数6=22×2，
第个图案中三角形个数8=22×3，
……
第个图案中三角形的个数为22×7=16，
故选：C．
21．（2018?绍兴）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（）
A．16张 B．18张 C．20张 D．21张
【分析】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行的时候，34枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论．
【解答】解：如果所有的画展示成一行，34（11）﹣1=16（张），
34枚图钉最多可以展示16张画；
如果所有的画展示成两行，34（21）=11（枚）……1（枚），
11﹣1=10（张），210=20（张），
34枚图钉最多可以展示20张画；
如果所有的画展示成三行，34（31）=8（枚）……2（枚），
8﹣1=7（张），37=21（张），
34枚图钉最多可以展示21张画；
如果所有的画展示成四行，34（41）=6（枚）……4（枚），
6﹣1=5（张），45=20（张），
34枚图钉最多可以展示20张画；
如果所有的画展示成五行，34（51）=5（枚）……4（枚），
5﹣1=4（张），54=20（张），
34枚图钉最多可以展示20张画．
综上所述：34枚图钉最多可以展示21张画．
故选：D．
22．（2018?重庆）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第个图中有3张黑色正方形纸片，第个图中有5张黑色正方形纸片，第个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第个图中黑色正方形纸片的张数为（）
A．11 B．13 C．15 D．17
【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5=32×1个，第三个图形有7=32×2个，由此得到规律求得第个图形中正方形的个数即可．
【解答】解：观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5=32×1个，
第三个图形有7=32×2个，
…
故第个图形有32×5=13（个），
故选：B．
23．（2018?绍兴）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为023+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（）
A． B． C． D．
【分析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断．
【解答】解：A、第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号为123+0×22+1×21+0×20=10，不符合题意；
B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为023+1×22+1×21+0×20=6，符合题意；
C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为123+0×22+0×21+1×20=9，不符合题意；
D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为023+1×22+1×21+1×20=7，不符合题意；
故选：B．
24．（2018?济宁）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）
A． B． C． D．
【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．
【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，
符合此要求的只有
故选：C．
25．（2018?烟台）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为（）
A．28 B．29 C．30 D．31
【分析】根据题目中的图形变化规律，可以求得第个图形中玫瑰花的数量，然后令玫瑰花的数量为120，即可求得相应的n的值，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
第n个图形有玫瑰花：4n，
令4n=120，得n=30，
故选：C．
二．填空题（共17小题）
26．（2018?岳阳）已知a22a=1，则3（a22a）2的值为5．
【分析】利用整体思想代入计算即可；
【解答】解：a2+2a=1，
3（a22a）2=3×1+2=5，
故答案为5．
27．（2018?白银）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2018次输出的结果为1．
【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：当x=625时，x=125，
当x=125时，x=25，
当x=25时，x=5，
当x=5时，x=1，
当x=1时，x4=5，
当x=5时，x=1，
当x=1时，x4=5，
当x=5时，x=1，
…
（2018﹣3）2=1007.5，
即输出的结果是1，
故答案为：1
28．（2018?菏泽）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是15．
【分析】根据输出的结果确定出x的所有可能值即可．
【解答】解：当3x﹣2=127时，x=43，
当3x﹣2=43时，x=15，
当3x﹣2=15时，x=，不是整数；
所以输入的最小正整数为15，
故答案为：15．
29．（2018?杭州）计算：a﹣3a=﹣2a．
【分析】直接利用合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：a﹣3a=﹣2a．
故答案为：﹣2a．
30．（2018?成都）已知a0，S1=，S2=﹣S1﹣1，S3=，S4=﹣S3﹣1，S5=，…（即当n为大于1的奇数时，Sn=；当n为大于1的偶数时，Sn=﹣Sn﹣1﹣1），按此规律，S2018=﹣．
【分析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2018=3366+2，即可得出S2018=S2，此题得解．
【解答】解：S1=，S2=﹣S1﹣1=﹣﹣1=﹣，S3==﹣，S4=﹣S3﹣1=﹣1=﹣，S5==﹣（a1），S6=﹣S5﹣1=（a1）﹣1=a，S7==，…，
Sn的值每6个一循环．
2018=336×6+2，
S2018=S2=﹣．
故答案为：﹣．
31．（2018?黔南州）根据下列各式的规律，在横线处填空：
，，=，…，+﹣=
【分析】根据给定等式的变化，可找出变化规律“+﹣=（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：﹣1=，+﹣=，+﹣=，+﹣=，…，
﹣=（n为正整数）．
2018=2×1009，
﹣=．
故答案为：．
32．（2018?咸宁）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为．
【分析】根据数列得出第n个数为，据此可得前2018个数的和为++++…+，再用裂项求和计算可得．
【解答】解：由数列知第n个数为，
则前2018个数的和为++++…+
=++++…+
=1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
=，
故答案为：．
33．（2018?孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，那么a4a11﹣2a1010的值是﹣24．
【分析】由已知数列得出an=12+3+…+n=，再求出a10、a11的值，代入计算可得．
【解答】解：由a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，知an=12+3+…+n=，
a10==55、a11==66，
则a4a11﹣2a1010=10+66﹣255+10=﹣24，
故答案为：﹣24．
34．（2018?淄博）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是2018．
【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018；
【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，
第45行第一个数是2025，
第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，
故答案为2018．
35．（2018?荆门）将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，…，记a1=1，a2=，a3=，…，S1=a1，S2=a1a2，S3=a1a2+a3，…，Sn=a1a2+…+an，则S2018=63．
【分析】由12+3+…+n=结合+2=2018，可得出前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，2个，进而可得出S2018=11+2×+3×+…+63×+2×=63，此题得解．
【解答】解：1+2+3+…+n=，+2=2018，
前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，2个，
S2018=1×1+2×+3×+…+63×+2×=1+1+…+1+=63．
故答案为：63．
36．（2018?常德）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是9．
【分析】设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．
【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12，
所以有x﹣12x=2×3，
解得x=9．
故答案为9．
37．（2018?永州）对于任意大于0的实数x、y，满足：log2（x?y）=log2xlog2y，若log22=1，则log216=4．
【分析】利用log2（x?y）=log2xlog2y得到log216=log22log22+log22+log22，然后根据log22=1进行计算．
【解答】解：log216=log2（2?2?2?2）=log22log22+log22+log22=1+1+1+1=4．
故答案为4．
38．（2018?桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为（505，2）
列
行 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 … … … … … 第n行 … … … … 【分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．
【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
2018÷4=504…2，
5041=505，
2018在第505行，
奇数行的数字从左往右是由小到大排列，
自然数2018记为（505，2）．
故答案为（505，2）．
39．（2018?泰安）观察“田”字中各数之间的关系：
则c的值为270或2814．
【分析】依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田”中各个位置的数字数量关系即可．
【解答】解：经过观察每个“田”左上角数字依此是1，3，5，7等奇数，此位置数为15时，恰好是第8个奇数，即此“田”字为第8个．观察每个“田”字左下角数据，可以发现，规律是2，22，23，24等，则第8数为28．观察左下和右上角，每个“田”字的右上角数字依次比左下角大0，2，4，6等，到第8个图多14．则c=2814=270
故应填：270或2814
40．（2018?枣庄）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行 1 第2行 2 3 4 第3行 9 8 7 6 5 第4行 10 11 12 13 14 15 16 第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17 …
则2018在第45行．
【分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2，由此估算2018所在的行数，进一步推算得出答案即可．
【解答】解：442=1936，452=2025，
2018在第45行．
故答案为：45．
41．（2018?自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有6055个．
【分析】每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案．
【解答】解：
观察图形可知：
第1个图形共有：11×3，
第2个图形共有：12×3，
第3个图形共有：13×3，
…，
第n个图形共有：13n，
第2018个图形共有13×2018=6055，
故答案为：6055．
42．（2018?遵义）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为4035．
【分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
第1层三角形的个数为：1，
第2层三角形的个数为：3，
第3层三角形的个数为：5，
第4层三角形的个数为：7，
第5层三角形的个数为：9，
……
第n层的三角形的个数为：2n﹣1，
当n=2018时，三角形的个数为：22018﹣1=4035，
故答案为：4035．
三．解答题（共3小题）
43．（2018?安徽）观察以下等式：
第1个等式：++×=1，
第2个等式：++×=1，
第3个等式：++×=1，
第4个等式：++×=1，
第5个等式：++×=1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：；
（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．
【分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次加1，每个分字分别是1和n﹣1
【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5
故应填：
（2）根据题意，第n个分式分母为n和n1，分子分别为1和n﹣1
故应填：
证明：=
等式成立
44．（2018?河北）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
尝试（1）求前4个台阶上数的和是多少？
（2）求第5个台阶上的数x是多少？
应用求从下到上前31个台阶上数的和．
发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
【分析】尝试：（1）将前4个数字相加可得；（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；
应用：根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；
发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为4k﹣1．
【解答】解：尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是﹣5﹣21+9=3；
（2）由题意得﹣21+9+x=3，
解得：x=﹣5，
则第5个台阶上的数x是﹣5；
应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，
31÷4=7…3，
7×3+1﹣2﹣5=15，
即从下到上前31个台阶上数的和为15；
发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．
45．（2018?黔南州）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是61=6个；图2中黑点个数是62=12个：图3中黑点个数是63=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是60个、6n个．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有61个圆圈；第n个点阵中有（3n2﹣3n1）个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
【分析】根据规律求得图10中黑点个数是610=60个；图n中黑点个数是6n个；
（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，
第2个图中3为一块，分为6块，余1；
按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n3（n﹣1）1=3n2﹣3n1，
（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．
【解答】解：图10中黑点个数是610=60个；图n中黑点个数是6n个，
故答案为：60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：23+1=7个，
第3个点阵中有：36+1=17个，
第4个点阵中有：49+1=37个，
第5个点阵中有：512+1=60个，
…
第n个点阵中有：n3（n﹣1）1=3n2﹣3n1，
故答案为：60，3n2﹣3n1；
（2）3n2﹣3n1=271，
n2﹣n﹣90=0，
（n﹣10）（n9）=0，
n1=10，n2=﹣9（舍），
小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
|
|
