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阿基米德原理的另类推导方法

2018-08-22  chgubo

阿基米德原理的另类推导方法

一般说来,对于不规则几何体的阿基米德原理公式的推导需要用到三重积分。本文介绍几种以牛顿运动定律为基础,推导不规则几何体的阿基米德原理公式的方法。

为简明起见,下文仅以水为例推导阿基米德原理。读者由推导过程不难看出,若将水换为其它种类的静态流体(甚至包括不均匀的静态流体),主要的过程与结论显然依然成立。

一底面积为S、深度足够的圆柱形的容器内装有深为h的水。设将一重为G的物体用细绳吊着浸入水中后(物体不碰壁,是否浸没无所谓),水面上升的高度为h

以物体为研究对象,且用F表示绳对物体施加的向上的拉力,则由物体的平衡条件可得物体所受的浮力为:

F=G-F                                         (1)

将容器内的水和物体视作一个整体,此整体在竖直方向上受到三个力的作用,容器底部对水施加的向上的支持力F,绳对物体施加的向上的拉力F,此整体所受的重力G。由物体的平衡条件可得:

F=G-F                                         (2)

又由牛顿第三定律和液体压强压力计算公式可得:

F=F=PS=ρ(h+h)gS=ρhgS+ρhgS=G+G    (3)

整理上述三式即可得:

F=G                                            (4)

上式还可以容器内的水为研究对象导出。

水在竖直方向上受到三个力的作用,地球施加的重力,容器底部施加的支持力,物体对水所施加的竖直向下的压力(注:与物体所受的浮力实质上是水对物体各表面的压力的合力一样,此压力实质上也是物体对与之表面相接触的水的压力的合力。也就是说,此合力可视为物体所受的浮力的反作用力。根据三力平衡条件,由重力和支持力均在竖直方向上,我们也可推知,物体对与之表面相接触的水的压力的共同作用效果也等效于一个竖直方向上的压力。)。由水处于平衡状态可推知,此压力等于容器底部对水所施加的支持力与水所受的重力之差。这样由(3)式即刻就可导出此压力就等于物体排开水所受的重力,再由牛顿第三定律即可得到阿基米德原理。利用此法显然不需要假定绳对物体所施加的拉力是竖直向上的。换言之,此法比前述的推导显得更为严谨合理。

若容器不是圆柱形的,但却仍能在水中分割出一个能将物体浸在水中的部分包含在其中的粗细均匀的竖直水柱,那用上述的方法二显然也可以导出阿基米德原理。反之,若不能分割出易于处理的水柱,那用上述的方法就很难直接导出阿基米德原理了。用下述的“替代水”法推导阿基米德原理,对容器的形状或能否分割出易于处理的水柱就没有什么特别的要求。

由于液体压强与被压的物质无关,因此若我们用水去替代物体浸在水中的部分,那用来替代物体浸在水中的部分的那部分水所受的浮力(无数多个微小压力的合力)与物体原本所受的浮力就一样。因此,我们在分析物体原本所受的浮力时,就可以完全无视原本的物体而直接去分析“替代水”的受力情况。取“替代水”为研究对象,与其它各处的水一样,它显然也是处于平衡状态(我们可以这样设想,即将物体从水中取出后再向容器中慢慢注水至水面上升至物体未取出时所在的高度。待水静止后再将现占据原物体浸在水中部分的那部分水“割离”出来。这一部分被“割离”出来的水即上文所说的“替代水”,它显然处于平衡状态),且只受重力和浮力的作用。这样,由物体的平衡条件我们即刻就可推知浮力的方向竖直向上,浮力的大小等于它排开液体所受的重力。由“替代法”的推导过程我们可以看出,不论流体的密度是否均匀,只要流体在宏观上看来是静止不动的,那阿基米德原理就可成立。

    来自: chgubo > 《物理》

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