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1+1=2 也算一个伟大的发现吗？这个问题在不同的人群中必然会得出不同的答案。让我们姑且把答案分为“否定”和“肯定”两种类型好了。 如果去问问已经接受过启蒙教育的小朋友们，这个问题看起来就会十分“愚蠢”了。 因为小朋友们很可能会回答，他知道1+1=2，也知道怎么从1 数到10，他甚至能数到 100， 老师刚刚在课堂上讲过，十分简单，他肯定不会把这个公式当成“伟大发现”。 但如果是去问数学家呢？ 数学家一定会告诉你，这个公式十分伟大，因为它代表人类已经掌握了计数的本领。 可以说，让我们在数学考试中十分头疼的一切难题，都是从人类掌握数数技能之后才开始的。 我们现在无法想象，如果没有计数的能力，数学中一切抽象而复杂的内容要通过什么方式去表达。 等等，或许我们可以做一些尝试，尝试一下如果人类没有计数能力，会出现什么样的事情吧！ 让我们从伸出自己的双手开始好了，你一定在猜测我想问什么：你的手总共有几根手指？  或许你蒙对了，真的在不知道“双”的概念时就伸出了两只手，那么你能回答“你的手总共有几根手指”这个问题吗？ 还是不能，因为你不会计数啊！ 我们可以大胆想象，如果不会计数，那么“数量词”这种东西，也不应该存在于世。如此一来，“几根手指”中的“根”，就只能代表“植物茎干下部长在土里的部分”，或者“事物的本源”之类的意思，并不能作为描述“长条状物体的数量”的量词出现。 至于说“几根手指”中的“几”也会被削减很多意思了。毕竟你并不拥有计数能力，那么“几”这个字里“询问数量多少的疑问词”的意义，也会消失不见了。 这实在是太可怕了，如果没有计数能力，别说是数学不会有什么发展，就连语言文字都会变得一塌糊涂。 | 我们如何掌握计数？ 提到这个问题，刚刚可能还对1+1=2的重要性讲得眉飞色舞的数学家们，就无法给出一个令人满意的答案了。因为到现在为止，我们无法考证人类是从何时开始第一次使用计数能力的。 正因为如此，我们也很难知道人类真正掌握计数能力的原因。或许可以这样理解：数字并不是人类发明创造出来的，而是如同原子、引力这类东西一样，原本就存在于自然界当中，我们不是创造了它，只是在运用它罢了。 之所以会有这样的想法，是因为不光人类掌握着计数能力，很多动物也有着类似的本领。 先从灵长类动物开始说起好了。2010 年的一项研究指出，经过训练的猕猴，可以在屏幕上把不同的数点结合起来做加法运算，并能得出正确的和数。这些猕猴的计算准确 率高达76%，远远高于靠瞎蒙乱猜得出答案的准确率。另外，黑猩猩在经过训练之后，也能认识和运用数学符号——这种能力在之前一直被认为只有人类才具有。 如果说动物经过训练掌握了计数能力，还是在人类的干涉之下完成的，那么有些动物天生具备的计数能力，就令人十分惊叹了。 比如蜜蜂，它们能够数出4种包含不同元素的图案，帮助它们顺利记住食物的来源，在复杂的环境当中生存下去。 也难怪 19 世纪德国数学家利奥波德·克罗内克会说：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。” | 人类为了掌握计数都做了啥？ 虽然我们现在无法判断，人类是从什么时候开始掌握了计数能力，不过依然有一些考古发现，可以帮助我们去理解远古人类对“数数”的认知。 典型的案例之一，就是“伊尚戈骨骸”。 1960 年，比利时的地质学家在刚果民主共和国境内，发现了一些刻着线的骨头。这些骨头来自狒狒，上面的刻痕数量繁多，一开始被认为是当时的人们用来简单记事的，但数学 家们认为，这些有22000 年历史的骨骸所拥有的丰富的数学意义，远远不是用来记事这么单纯。 以其中一根骸骨上的刻痕为例。上面的刻痕从三变成了六，从四变成了八，从十变成了五，这很可能说明当时的人们不仅有了计数的概念，同时也有了加倍、减半的想法。 换句话说，如果有人能带着一副扑克牌穿越回那个时代，同样能和当时的人一起玩斗地主，因为当时的人类已经能喊加倍抢地主了！  更令人惊讶的是，除了加倍和减半的概念之外，当时的人们很有可能对奇偶数以及质数有了一定的认识。比如，在某一根骨骸上面， 刻痕是9、11、13、17 之类奇数， 而有的骸骨上包含了10 ～ 20 之间所有的质数。 除了伊尚戈骨骸之外，考古研究中还发现过更早的计数棒，骨头 上有29 道刻痕。虽然学者们还无法真正搞明白这类骨骸到底有什么作用，不过有人猜测说，这是用来记录阴历的工具。  | 奈何姓万啊！ 有了刻痕计数，距离人类真正掌握计数本领还有一段距离。为何这么说呢？让我们从很多人都在儿时听过的《奈何姓万》的故事开始说起。 这则故事中说，有个有钱的财主，他家的人世世代代都不识字。财主觉得这样不好，就聘请老师给自己的儿子上课，这个老师就从简单的字开始教起。在纸上写了一划，教他说：这个字念“一”；在纸上写了两划，教他说：这个字念“二”；在纸上写了三划，教他说：这个字念“三”。 这时，财主儿子感到很高兴，原来写字这么简单啊！于是就把笔一丢，对他的父亲 说 :“我已经学会了。”他的父亲也很开心，依着儿子把老师辞退了。 不久以后，财主准备找他的一个姓万的朋友来吃饭，让他的儿子早上起床写个请贴。过了很久还没有写成，财主就去催促儿子，没想到儿子生气地说：“天下的姓氏那么多，干嘛非要姓万不可。我从一大早开始写到现在，才写完五百画！” 这则故事来自明朝著名教育家刘元卿的《应谐录》，教育我们不要偶然学会一点点东西就自以为了不起，更不要浅尝辄止。 除去这个意义之外，我们还可以从这个故事里发现一些数学上的意义。财主的儿子掌握了“一”，就如同几万年前的人类掌握了用一道刻痕来计数一样。我们有十根手指——好的，现在你有计数的本领了，终于可以数清楚你有几根手指了——数到十也没什么问题。可是，当数字达到“万”的时候，无论是刻痕还是手指，就不那么方便了。 从一到万，数字怎样才能有更好的表达方式呢？  | 换个位置，换个意义 我们先来看看古巴比伦人是怎么应对的。 为了表达更大的数字，古巴比伦人创造性的将数字列成排，让数字的位置和数字的符号本身拥有了同样重要的意义。 和我们现在习惯使用的十进制不同，古巴比伦人用的是60 进制。当时他们通过楔 形文字来表达数字，一个纵向的细楔形表示1，好几个这样的楔形组合起来，可以表示 2 ～ 9，接下来，他们又创造了一个横向的粗楔形来表示10，多个 10 的楔形符号组合起 来，可以表示 20、30、40 和 50。通过这些符号，数字 1 ～ 59 就可以书写下来了。 这听起来似乎没什么大不了的？真正有趣的事情，是发生在古巴比伦人记录60的时候。 当表示60 这个数字的时候，他们并没有再用6 个 10 的符号进行组合，而是在左边 开始写出新的一列，写入数字 1 的符号来表示。 这和我们今天用来表示“10”的方法非常类似。我们并没有用新的符号去表达“10”， 而是把“1”放在了左边，赋予了它新的意义——10个1。  这就是所谓的位置计数法，它通过让数字待在不同的位置，用来表达出更加复杂、庞大的数值。 当古巴比伦人用60 进制来计数的时候，古印度人用10 进制作为通用的数字系统——和我们今天一样。换句话说，这个系统的数字以 10 位进制，逢10进 1。 顺便要告诉大家，古印度人不仅是使用10 进制的先驱，也是我们现在常用的阿拉伯数字的发明者。 这听起来似乎有些名不副实，但事实上，这套数字早是由古印度人发明的，后来由阿拉伯人带入欧洲。它与罗马数字共存于欧洲长达数个世纪之久，因为书写简便等原因，逐渐成为主流。 直到15、16 世纪，随着印刷技术的逐渐发展，识字的人越来越多，书写也越来越标准化，这套数字才定格成我们现在看到的模样。 |
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