课件使用101教育PPT制作(http://ppt.101.com/ppt.101.com)2.已知直线l与直线x-y-5=0之间的距离是且直线l不过第四象限,求直线l的方程．2.已知直线l与直线x-y-5=0之间的距离是且直线l不过第四象限,求直线l的方程．自学导引
1．点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________.
2．两平行线间的距离
(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间________的长．
(2)求法：两平行线间的距离可转化为______________．
(3)结论：两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0的距离为d＝____________.
点到直线的距离
公垂线段
自主探究
探究1：点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0或P在直线l上的特殊情况是否还适用？
【答案】仍然适用．
当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，
即y＝－，d＝＝，适合公式；
当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－，d＝＝，适合公式；
当P点在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0，d＝＝0，适合公式．
探究2：两平行线间的距离可转化为其中一直线上的任意一点到另一条直线的距离，而这一点的选取有何要求？
【答案】这一点的选取具有任意性，一般选取计算较为简便的特殊点．
预习测评
1．点(0,5)到直线y＝2x的距离是()
A.B.C.D.
2．两平行直线x＋y＋1＝0与x＋y＋3＝0之间的距离为()
A．2B.C．3D.
【答案】B
【答案】B
3．在过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．
4．若直线l与直线l1：5x－12y＋6＝0平行，且l与l1的距离为2，则l的方程为____________．
【答案】5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0
【答案】2x＋y－5＝0
要点阐释
1．应用点到直线的距离公式应注意的问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离：
P(x0，y0)到 x＝a的距离d＝|a－x0|；
P(x0，y0)到 y＝b的距离d＝|b－y0|.
2．对两平行直线间的距离公式的理解
(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．
(2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
典例剖析
题型一点到直线的距离
【例1】求点P0(－1,2)到下列直线的距离：
(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.
思路点拨：利用点到直线的距离公式，对于特殊直线也可数形结合．
解(1)由点到直线的距离公式知
d＝＝＝2.
(2)法一：直线方程化为一般式为x－2＝0.
由点到直线的距离公式d＝＝3.
法二：直线x＝2与y轴平行，
由图(1)知d＝|－1－2|＝3.
(3)法一：由点到直线的距离公式得
d＝＝1.
法二：直线y－1＝0与x轴平行，
由图(2)知d＝|2－1|＝1.
1．若点(－2,2)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，求C的值．
解：由点(－2,2)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，可得d＝＝＝3，解得C＝13或C＝－17.
题型二两条平行线间的距离
【例2】求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1距离为2的直线方程．
思路点拨：本题可从两方面考虑：可利用两点间的距离公式求解；可利用两直线的距离公式求解．
解：
法一：由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝＝2，
|C＋1|＝2，C＝±2－1，
所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.
法二：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P到2x－y－1＝0的距离为d＝＝＝2，2x－y－1＝±2，
所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.
题型三距离公式的综合应用
【例3】两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
思路点拨：(1)利用数形结合求解；(2)当d取最大值时，可求得所求直线的斜率，然后代入求解．
解(1)当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0
即所求的d的变化范围是(0,3]．
(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，
所以k＝－＝－＝－3，
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
方法点评：数形结合、运动变化的思想和方法是数学中常用的思想方法．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．类似地，当一条直线过定点A时，点B到这条直线l的距离d也是当lAB时最大，l过B点时，最小为零．
2．已知直线l过点A(3,4)，将l绕A转动时，求原点O到l的最大值，并求此时直线l的方程．
解：如图，当直线与OA垂直时，原点O到l的距离最大，最大值d＝＝5，
此时kAO＝，
l的斜率k＝－，
l的方程为y－4＝－(x－3)，
即3x＋4y－25＝0.
误区解密因考虑不全而致错
【例4】已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．
错解：由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.因为原点到直线l的距离为1，所以＝1，解得k＝.所以所求直线l的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
错因分析：符合题意的直线有两条，错解中认为两条直线的斜率均存在，忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线．
正解：当直线l过点A(1,2)且斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，原点到直线l的距离为1，满足题意．
当直线l过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.因为原点到直线l的距离为1，所以＝1，解得k＝.所以所求直线l的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
综上所述，所求直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
纠错心得：当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．
课堂总结
1．求点到直线的距离时，应先将直线的方程化成一般式，并要注意公式的分子中含有绝对值．
2．点P(x0，y0)到直线x＝a的距离为d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离为d＝|y0－b|.
3．利用原点求两平行线的距离时，需注意原点相对于两平行直线的位置，设原点到两平行直线的距离分别为d1，d2.
当两直线在原点同侧时，d＝|d1－d2|；
当两直线在原点异侧时，d＝d1＋d2.
自学导引
1．点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________.
2．两平行线间的距离
(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间________的长．
(2)求法：两平行线间的距离可转化为______________．
(3)结论：两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0的距离为d＝____________.
点到直线的距离
公垂线段
自主探究
探究1：点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0或P在直线l上的特殊情况是否还适用？
【答案】仍然适用．
当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，
即y＝－，d＝＝，适合公式；
当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－，d＝＝，适合公式；
当P点在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0，d＝＝0，适合公式．
探究2：两平行线间的距离可转化为其中一直线上的任意一点到另一条直线的距离，而这一点的选取有何要求？
【答案】这一点的选取具有任意性，一般选取计算较为简便的特殊点．
预习测评
1．点(0,5)到直线y＝2x的距离是()
A.B.C.D.
2．两平行直线x＋y＋1＝0与x＋y＋3＝0之间的距离为()
A．2B.C．3D.
【答案】B
【答案】B
3．在过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．
4．若直线l与直线l1：5x－12y＋6＝0平行，且l与l1的距离为2，则l的方程为____________．
【答案】5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0
【答案】2x＋y－5＝0
要点阐释
1．应用点到直线的距离公式应注意的问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离：
P(x0，y0)到 x＝a的距离d＝|a－x0|；
P(x0，y0)到 y＝b的距离d＝|b－y0|.
2．对两平行直线间的距离公式的理解
(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．
(2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
典例剖析
题型一点到直线的距离
【例1】求点P0(－1,2)到下列直线的距离：
(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.
思路点拨：利用点到直线的距离公式，对于特殊直线也可数形结合．
解(1)由点到直线的距离公式知
d＝＝＝2.
(2)法一：直线方程化为一般式为x－2＝0.
由点到直线的距离公式d＝＝3.
法二：直线x＝2与y轴平行，
由图(1)知d＝|－1－2|＝3.
(3)法一：由点到直线的距离公式得
d＝＝1.
法二：直线y－1＝0与x轴平行，
由图(2)知d＝|2－1|＝1.
1．若点(－2,2)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，求C的值．
解：由点(－2,2)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，可得d＝＝＝3，解得C＝13或C＝－17.
题型二两条平行线间的距离
【例2】求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1距离为2的直线方程．
思路点拨：本题可从两方面考虑：可利用两点间的距离公式求解；可利用两直线的距离公式求解．
解：
法一：由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝＝2，
|C＋1|＝2，C＝±2－1，
所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.
法二：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P到2x－y－1＝0的距离为d＝＝＝2，2x－y－1＝±2，
所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.
题型三距离公式的综合应用
【例3】两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
思路点拨：(1)利用数形结合求解；(2)当d取最大值时，可求得所求直线的斜率，然后代入求解．
解(1)当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0
即所求的d的变化范围是(0,3]．
(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，
所以k＝－＝－＝－3，
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
方法点评：数形结合、运动变化的思想和方法是数学中常用的思想方法．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．类似地，当一条直线过定点A时，点B到这条直线l的距离d也是当lAB时最大，l过B点时，最小为零．
2．已知直线l过点A(3,4)，将l绕A转动时，求原点O到l的最大值，并求此时直线l的方程．
解：如图，当直线与OA垂直时，原点O到l的距离最大，最大值d＝＝5，
此时kAO＝，
l的斜率k＝－，
l的方程为y－4＝－(x－3)，
即3x＋4y－25＝0.
误区解密因考虑不全而致错
【例4】已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．
错解：由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.因为原点到直线l的距离为1，所以＝1，解得k＝.所以所求直线l的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
错因分析：符合题意的直线有两条，错解中认为两条直线的斜率均存在，忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线．
正解：当直线l过点A(1,2)且斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，原点到直线l的距离为1，满足题意．
当直线l过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.因为原点到直线l的距离为1，所以＝1，解得k＝.所以所求直线l的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
综上所述，所求直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
纠错心得：当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．
课堂总结
1．求点到直线的距离时，应先将直线的方程化成一般式，并要注意公式的分子中含有绝对值．
2．点P(x0，y0)到直线x＝a的距离为d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离为d＝|y0－b|.
3．利用原点求两平行线的距离时，需注意原点相对于两平行直线的位置，设原点到两平行直线的距离分别为d1，d2.
当两直线在原点同侧时，d＝|d1－d2|；
当两直线在原点异侧时，d＝d1＋d2.
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