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神奇的梅森素数,迄今人类仅发现47个

2018-09-06  zgj幸福书...

    众所周知,素数也叫质数,是只能被1和自身整除的数,如2、3、5、7、11等等。



    2300年前,古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个,并提出一些素数可写成“2p-1” 的形式,这里的指数p也是一个素数。这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力,千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴 赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。而17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林·梅森是其中成果较为卓著的一位,因此后人 将“2p-1”型的素数称为“梅森素数”。

    迄今为止,人类仅发现47个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人,它被人们称为“数学珍宝”。梅森素数历来是数论研究的一项重要内容,也是当今科学探索的热点和难点之一。



    貌似简单 探究极难

    梅森素数貌似简单,但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且还需要进行艰巨的计算。

    1772年,有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下,靠心算证明了231-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数,堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已;法国大数学家拉普拉斯说的话,或许可以代表我们的心声:“读读欧拉,他是我们每一个人的老师。”

    在“手算笔录”的年代,人们历尽艰辛,仅找到12个梅森素数。而计算机的产生加速了梅森素数探究进程。1952年,美国数学家拉婓尔·鲁滨逊等人使用SWAC型计算机在短短的几个月内,就找到了5个梅森素数:2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1。

    探究梅森素数不仅极富挑战性,而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。


    1963年6月2日晚上8点,当第23个梅森素数211213-1通过大型计算机被找到时,美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放,在第一时间发布了这一重要消息。而发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲,为了让全世界都分享这一重大成果,以至把所有从系里发出的信封都盖上了“211213-1是个素数”的邮戳。



    随着指数p值的增大,每一个梅森素数的产生都艰辛无比;而数学家和业余数学爱好者仍乐此不疲,激烈竞争。例如,在1979年2月23日,当美国克雷研究公司的计算机专家大卫·史洛温斯基和哈里·纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数223209-1时,有人告诉他们:在两星期前美国加州的高中生兰登·诺尔就已经给出了同样结果。为此他们潜心发奋,又花了一个半月的时间,使用Cray-1型计算机找到了新的梅森素数244497-1。这件事成了当时不少主流报纸的头版新闻。后来史洛温斯基还独自发现了6个梅森素数,因而被人们誉为“素数大王”。

    人们在寻找梅森素数的同时,对它的重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看,它在正整数中的分布时疏时密、极不规 则,因此研究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。英、法、德、美等国的数学家都曾经分别给出过有关梅森素数分布的猜测,但他们的猜测都以 近似表达式给出,而与实际情况的接近程度均难如人意。

    中国数学家和语言学家周海中是这方面研究的领先者——他运用联系观察法和不完全归纳法,于1992年2月首次给出了梅森素数分布的精确表达式; 后来其猜测被国际上命名为“周氏猜测”。著名的《科学》杂志有一篇文章指出:这项成果是素数研究的一项重大突破。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得 主阿特勒·塞尔伯格认为:周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法;其创新性还表现在揭示新的规律上。

    爱因斯坦曾说:“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要,因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题。而提出新的问题、新的可能 性,从新的角度看旧问题,却需要创造性的想像力,而且标志着科学的真正进步。”周氏猜测的提出已有近20年,目前人们需要做的是破解这一难题。



    网格给力 金钱奖赏

    网格(Grid)这一崭新技术的出现使梅森素数的探究如虎添翼。1996年初,美国数学家和程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程 序,并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用,这就是著名的“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目。该项目采取网格计算的方式,利用大量 普通计算机的闲置处理能力来获得相当于超级计算机的运算能力。1997年美国数学家和程序设计师斯科特·库尔沃斯基建立了“素数网” (PrimeNet),使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序,就可以立即参加GIMPS项目去 寻找梅森素数了。

    为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术的发展,设在美国的电子新领域基金会(EFF)曾经向全世界宣布了为通过GIMPS项目来探寻梅森素数 而设立的奖金。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为:超过1亿位数,15万美元;超过10亿位数,25万 美元。当然,绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱,而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。



    2008年8月23日,美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家埃德森·史密斯发现了迄今已知的最大梅森素数243112609-1, 该数也是目前已知的最大素数。这个素数有12978189位;如果用普通字号将它连续写下来,长度可超过50公里!这一重大成就被著名的《时代》杂志评为 “2008年度50项最佳发明”之一。前不久,史密斯获得了EFF 颁布的10万美元大奖。不过,史密斯是私自利用学校的75台计算机参加GIMPS项目的;本来这种行为应该被处罚,但鉴于他为学校争了光,因而还受到了校 方的表彰。



    而另一位仁兄就没有这样的运气。美国一家电话公司的雇员麦克·福雷斯特偷偷地使用公司内的2585台计算机参加GIMPS项目;随后公司发现计 算机经常会出些差错,本来只需要5秒钟就可以接通的电话号码,需要5分钟才能接通。联邦调查局最终查到了原因,福雷斯特承认“被GIMPS项目引诱”;他 最后被解雇,并被罚款一万美元。这只能说是公事与私事没有分开,实在令人叹息。

    这些年来,人们通过GIMPS项目找到了13个梅森素数,其发现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。目前,世界上有180多个国家和 地区超过23万人参加了这一国际合作项目,并动用了45万多台计算机联网来寻找新的梅森素数。目前该项目的计算能力已超过当今世界上任何一台最先进的超级 矢量计算机的计算能力,运算速度达到每秒700万亿次。著名的《自然》杂志说:GIMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数寻找的热情,而且会引起人们 对网格技术应用研究的高度重视。

    理论意义 实用价值



    梅森素数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径;其探究推动了“数学皇后”——数论的研究,促进了计算技术、密码技术、程序设计技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。

    梅森素数的最新意义是:它促进了网格技术的发展;而网格技术是一项应用非常广阔、前景十分诱人的高新技术。另外,梅森素数还可用来测试计算机硬件运算是否正确。

    由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持,所以许多科学家认为:梅森素数的研究成果,在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国顶尖科学家马科斯·索托伊甚至认为:梅森素数探究可以挑战人类科技与智慧极限,其成果是一个国家科技创新能力的重要标志之一。

    最后,有必要指出的是:梅森素数是否有无穷多个?这是目前尚未解决的著名数学谜题;而揭开这一未解之谜,正是科学追求的目标。让我们以数学大师希尔伯特的名言来结束本文:“我们必须知道,我们必将知道。”

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