泰勒为何要展开？

在高等数学教科书上，“泰勒公式”不仅看起来吓人，而且来得非常突然，

泰勒公式

它好像是无缘无故突然从石头缝里蹦出来的一个概念，但真相完全不是这样。

老板的计算问题

假设我们出身在两百年前，没有电子计算器。

我们的老板遇到一个工程问题，比如桥梁设计，要求我们计算Sin31.1°等于多少，而且要求结果精确到小数点后三位。

按照三角公式的定义，我们得用量角器画图，然后用直尺测量边长，再计算斜边a除以直角边c。

这不仅麻烦，而且精度说不清，谁都不知道我们画的直角到底有多直，这种计算方法根本无法定量评估结果的精度。

神奇拆解

现在，有了泰勒展开公式，我们可以直接将Sin x“拆解成一堆”关于x的加减乘除运算（x使用弧度）：

sinx的泰勒展开

注意，这里不是约等于，是“完美的”等于，只不过，后面是无穷多项累加。

但是，我们也不需计算无穷多项，因为，后面的高次项对于结果的“贡献”越来越小，因此，我们往往只需计算前若干项即可，比如前三项：

尾巴直接扔掉，虽然会造成误差，但余项都是比x^5高阶的无穷小，因此可以得出：

使用前三项估算

而且，估算造成的误差不会超过：

展开的优势

经过这么一番折腾，即使在没有电子计算器的情况下，我们通过手算加减乘，也可以“控制”结果的精度。

老板要求多高的精度，就可以有多高的精度，我们对着泰勒公式，在草稿纸上一直往后计算即可。

泰勒公式本质上是一种“幂级数”，它将复杂的运算，统一成为“代数加减乘除”运算。

因此，泰勒公式可以将运算本身“质的复杂度”，转换为“量的复杂度”，并进行估算。

计算机中的应用

现代编程语言中，很多库函数，就是通过泰勒展开实现计算的。

计算机可以算加减乘除，泰勒公式正好提供了“一堆”加减乘除。