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摘要：不论在量子力学中或是在经典力学中不确定原理都是客观存在的。根据玻尔量子化条件和德布罗意公式得到了一种导出不确定关系式的新方法，从而证明了不确定原理与测量对粒子的扰动有关。 关键词：不确定原理 玻尔量子化条件 德布罗意公式 扰动 【中图分类号】O413.1【文献标识码】A【文章编号】1004-1079（2008）10-0184-02 众所周知，量子力学诞生以后，不确定原理引起了长期激烈的争论。[1]物理学家们一般认为，不确定原理与测量对粒子的扰动有关[2]，但已有的各种严格或不严格的论证并未直接给出这个结论, 以至于当今有的物理学专家在谈及不确定原理时感慨地说：没有人真正知道它是如何产生的。[3]其次，由于习惯于认为经典力学是决定性的理论，初学者对不确定原理往往感到难以理解。事实上，不确定原理不仅存在于量子力学中，在经典力学乃至整个经典物理学中也存在，只不过因其实际效应可以忽略人们以往不注意罢了。下面，我们先讨论经典力学中的不确定原理，再讨论量子力学中的不确定原理，并根据玻尔量子化条件和德布罗意公式得到一种导出不确定关系式的新方法，证明不确定关系与测量对粒子的扰动有关。 一、经典力学中的不确定原理 看到本段的标题，也许有人会想：经典力学是决定性的理论，怎么会存在不确定原理？对此疑问，首先必须指出的是：状态之间的因果关系与状态描述的确定程度是既有联系又有区别的两个概念。以往，由于牛顿方程给出了质点运动状态之间确定的因果关系，人们认为经典力学完全是决定性的理论，但这隐含着一个如狄拉克所指出的假定：经典力学假定对所有可观测量都能同时赋予数值。[4]问题是：在经典力学中，质点状态，也就是质点的位置和速度是否真的可以完全确定呢？ 为简便起见，讨论一维运动。我们知道，一维运动中平均速度的定义是V=,（1） 而瞬时速度定义为平均速度的极限： V=lim△t→0（2） 我们知道，任何测量都是或长或短的过程，不可能是瞬时的，因此，我们能测得的总是平均速度而非瞬时速度，或者说，平均速度可测，（瞬时）速度不可测。这听起来似乎有点怪，但事实如此。在物理学中，说一个不能准确测定的物理量有确定值是没有意义的，所以，我们把平均速度相对于速度的这种偏差叫做速度的不确定偏差：δV=V-.（3） 显然，速度不确定偏差的存在与具体的测量技术无关。对上式两边取极限，可知不确定偏差δV是无穷小量，这就保证了速度的测定在具有不确定性的同时具有稳定性。 也许有人会把速度不确定偏差的存在归于测量技术的限制，那么我们要问，这种限制可否完全消除？显然不能。因为不确定偏差描述的是可测的平均速度相对于不可测的速度的偏差，这个偏差的存在与具体的测量技术无关，与通常所说的测量误差是两个概念。通常所说的速度测量误差是平均速度的测量值与平均速度的真值的差，而所谓真值不过是多次测量的平均值罢了。 速度有不确定偏差，位置是否也有不确定偏差呢？利用V=可将牛顿方程=（4） 写成V=,也就是dx=dV. 所以，当速度有不确定偏差δV时，位置必有不确定偏差δx： δx=δV.（5） 上式表明，仅当质点静止时位置有确定值。此时,位置、速度都是完全确定的，或者说都是可测准的。 上式还表明：当力Ｆ足够大时，δx足够小，这就保证了位置的测定在具有不确定性的同时具有稳定性。那么，所谓力Ｆ足够大意味着什么呢？ 设力场（Fx）有势函数U(x)，即令 （Fx）＝－. （6） 将上式右边的势梯度在附近展开： ＝+△x+A.（7） 所谓F（x）=足够大，意味着上式右边第一项后边的那些项可以忽略，或者说，力场变化比较慢。所以，所谓给定初态和运动方程，质点以后的状态就是确定的，其条件是力场F变化较慢。这个结论与量子力学关于可以用经典力学描述微观粒子运动的条件完全相同[5]。 事实上，不仅在经典力学中，在整个经典物理学中不确定性都是普遍存在的。例如，测量电场或磁场时必须引入带电粒子，测得的场是受到带电粒子的场干扰的场，而非原来的那个场。又例如，测量一段电路的电压时必须并联一个伏特计，测得的电压是并联伏特计后的电压，而非原来那段电路的电压。诸如此类，不胜枚举。这些不确定性并不是测量技术带来的，也不是通过改进测量技术能够完全消除的，而是理论体系固有的，不可消除的，是客观物质运动属性的表现。 综上所述可知，经典物理学中的不确定性是一个客观存在，是客观物质运动属性的反映。如前所说，狄拉克曾经指出，经典力学假定对所有可观测量都能同时赋予数值。经典力学的这个不自觉的假定使人们形成了一种根深蒂固的观念，认为经典力学完全是决定论的，与不确定性无关。许多学习了经典力学的人开始学习量子力学时对量子力学的不确定关系感到难以理解，其思想根源皆在于此。量子力学诞生以后，不确定原理引起了长期的激烈的争论。争论的结果之一是把旧名称“测不准原理”、“测不准关系”改成了“不确定原理”，“不确定关系”，以免望文生义，把不确定“偏差”误认为测量“误差”。看来，改得确有必要。不过，概念的建立重在内涵的把握。不论在量子力学中还是在经典力学中，不确定原理都应被视为一个基本原理，都是客观物质运动属性的表现，只不过表现形式和表现程度不同罢了。不同之处在于，量子力学中的力学量大多是量子化的，不确定偏差有下限，不是无穷小量；经典力学中的力学量大多是连续变化的，不确定偏差是一个无穷小量。正是由于经典力学中的不确定偏差是一个无穷小量，忽略它不会给一般的技术工作带来问题，但不能因此就否认它的存在。 二、 量子力学中的不确定原理 我们知道，在量子力学中，算符x和算符不对易，坐标x和动量Px不能同时有确定值。下面根据玻尔轨道量子化条件和德布罗意公式导出量子力学中的不确定关系式△x・△Px=△t・△E≥.（8） 不失一般性，设用光信号测量一个氢原子的位置。 显而易见，从氢原子中电子吸收光子跃迁到较高能级到放出光子跃迁到较低能级，存在一个或长或短的时间间隔△t。假设在此时间内氢原子的位移是, 动量增量是△x, 则有△Px △t・△Px＝△x・Ｆ・△t=△t・△E,（9） 其中Ｆ是△t时间内氢原子所受力的平均值,△E 是氢原子能量的增量。上述过程等效于氢原子吸收了一个能量为hv的光子，于是有 △E=hv=hω＝h, 即△t・△E=h・△Ф.（10） 那么，上式中△Ф的物理意义是什么呢？利用德布罗意公式p=mV=可将玻尔的轨道量子化条件mVr=nη写成 ２πr=nη=2n. （11） 这表明氢原子中电子的德布罗意波是一个沿着圆轨道的驻波，圆轨道上每两个相邻节点对应的圆心角是，如图1所示。电子跃迁的末态能级 包含无限多个可能的轨道面，其中一个轨道面与初态轨道面的夹角为θ,0≤θ≤π ，如图2所示。设这些轨道面是等几率的，则初末态中相邻节点对应的圆心角之差的平均值是 △Ф=-≥-, （12） 其中n=1,2,3,L;m=n+1,n+2,L. 取n=2, 得 △Ф≥.（13） 将上式代入（10）式即得（8）式。 由上述证明可知，不确定原理与测量对粒子的扰动有关，即与物体之间的相互作用有关。这与前面的分析一致。不过，由于应用了玻尔轨道量子化条件，上述证明还不是完全量子论的证明。量子力学中对不确定原理的严格证明见各种标准的量子力学教科书[6]，这里不再赘述。 参考文献 [1] 量子力学，周世勋编，上海科学技术出版社，1961第1版，400-405页； [2] 时间简史，（英）S.W. Hawking 著，许明贤 吴忠超译，湖南科学技术出版社，2002第1版，53页 [3] 通向量子引力的三条途径，（美）李. 斯莫林著，李新洲等译，上海科学技术出版社，2003第1版，17页 [4] 量子力学原理，P.A.M狄拉克著，陈咸亨译，喀兴林校，科学技术出版社，1965第1版，100页； [5] 同[1]，148页 [6] 同[1]，126页；量子力学，曾谨言著，科学技术出版社，2000第1版，194页 注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文 |
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