前言
这是一篇译文，原文对R与分布有关的几个函数进行了介绍。
我们知道，在R中，与正态分布（或者说其它分布）有关的函数有四个，分别为dnorm,pnorm,qnorm和rnorm，其中，dnorm表示密度函数，pnorm表示分布函数，qnorm表示分位数函数，rnorm表示生成随机数的函数。在R中与之类似的函数还有很多，具体的可以通过 help(Distributions)命令去查看，对于分位数或百分位数的一些介绍可以看这篇笔记 《分位数及其应用》 ，关于正态分布的知识可以看这篇笔记 《正态分布笔记》 。
现在这篇笔记就介绍一下这些函数的区别。
dnorm dnorm中的d表示density，norm表示正态贫，这个函数是正态分布的概率密度(probability density)函数。
正态分布的公式如下所示：
mark 给定x，μ和σ后，dnorm()这个函数返回的就是会返回上面的这个公式的值，这个值就是Z-score，如果是标准正态分布，那么上述的公式就变成了这个样子，如下所示：
mark 现在看一个案例，如下所示：
dnorm(0 ,mean=0 ,sd=1 )# 这个是标准正态分布函数 # [1] 0.3989423
dnorm(0,mean=0,sd=1)由于是标准正态分布函数的概率密度，这个命令其实可以直接写为dnorm(0)即可，如下所示：
dnorm(0 )# [1] 0.3989423
再看一个非标准正态分布的案例，如下所示：
dnorm(2 , mean = 5 , sd = 3 )# [1] 0.08065691
虽然在dnorm()中，x是一个概率密度函数(PDF,Probability Density Function)的独立变量，但它也能看作是一组经过Z转换后的一组变量，现在我们看一下使用dnorm来绘制一个正态分布的概率密度函数曲线，如下所示：
z_scores <>3 ,3 ,0.1 )# 生成一个Z-score的向量 # [1] -3.0 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 # [17] -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 # [33] 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 # [49] 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0
现在使用dnorm()函数计算一下Z_scores的概率密度，如下所示：
dvalues <># [1] 0.004431848 0.005952532 0.007915452 0.010420935 0.013582969 0.017528300 # [7] 0.022394530 0.028327038 0.035474593 0.043983596 0.053990967 0.065615815 # [13] 0.078950158 0.094049077 0.110920835 0.129517596 0.149727466 0.171368592 # [19] 0.194186055 0.217852177 0.241970725 0.266085250 0.289691553 0.312253933 # [25] 0.333224603 0.352065327 0.368270140 0.381387815 0.391042694 0.396952547 # [31] 0.398942280 0.396952547 0.391042694 0.381387815 0.368270140 0.352065327 # [37] 0.333224603 0.312253933 0.289691553 0.266085250 0.241970725 0.217852177 # [43] 0.194186055 0.171368592 0.149727466 0.129517596 0.110920835 0.094049077 # [49] 0.078950158 0.065615815 0.053990967 0.043983596 0.035474593 0.028327038 # [55] 0.022394530 0.017528300 0.013582969 0.010420935 0.007915452 0.005952532 # [61] 0.004431848
现在绘图，如下所示：
plot(z_scores,dvalues, # Plot where y = values and x = index of the value in the vector 'l' , # Make it a line plot 'pdf of the Standard Normal' ,'Z-score' )
mark 从上面的结果可以看出，在每个Z-score处，dnorm可以绘制出这个Z-score对应的正态分布的pdf的高度。
pnorm pnorm函数中的p表示Probability，它的功能是，在正态分布的PDF曲线上，返回从负无穷到q的积分，其中这个q指的是一个Z-score。现在我们大概就可以猜测出pnorm(0)的值是0.5，因为在标准正态分布曲线上，当Z-score等于0时，这个点正好在标准正态分布曲线的正中间，那么从负无穷到0之间的曲线面积就是整个标准正态分布曲线下面积的一半，如下所示：
pnorm(0 )# pnorm()默认的参数与dnorm()一样，都是标准正态分布 # [1] 0.5
pnorm函数还能使用lower.tail参数，如果lower.tail设置为FALSE，那么pnorm()函数返回的积分就是从q到正无穷区间的PDF下的曲线面积，因此我们就知道了，pnorm(q)与1-pnorm(q,lower.tail=FALSE)的结果是一样的，如下所示：
pnorm(2 )# [1] 0.9772499 2 , mean = 5 , sd = 3 )# [1] 0.1586553 2 , mean = 5 , sd = 3 , lower.tail = FALSE )# [1] 0.8413447 1 - pnorm(2 , mean = 5 , sd = 3 , lower.tail = FALSE )# [1] 0.1586553
在计算机出现之前的时代里，统计学家们使用正态分布进行统计时，通常是要查正态分布表的，但是，在计算机时代，通常都不使用正态分布表了，在R中，pnorm()这个函数完全可以取代正态分布表了，现在我们使用一个Z-scores的向量来计算一下相应的累积概率，如下所示：
# 此处还使用前面生成的z_scores # [1] -3.0 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 # [17] -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 # [33] 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 # [49] 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 # [1] 0.001349898 0.001865813 0.002555130 0.003466974 0.004661188 0.006209665 # [7] 0.008197536 0.010724110 0.013903448 0.017864421 0.022750132 0.028716560 # [13] 0.035930319 0.044565463 0.054799292 0.066807201 0.080756659 0.096800485 # [19] 0.115069670 0.135666061 0.158655254 0.184060125 0.211855399 0.241963652 # [25] 0.274253118 0.308537539 0.344578258 0.382088578 0.420740291 0.460172163 # [31] 0.500000000 0.539827837 0.579259709 0.617911422 0.655421742 0.691462461 # [37] 0.725746882 0.758036348 0.788144601 0.815939875 0.841344746 0.864333939 # [43] 0.884930330 0.903199515 0.919243341 0.933192799 0.945200708 0.955434537 # [49] 0.964069681 0.971283440 0.977249868 0.982135579 0.986096552 0.989275890 # [55] 0.991802464 0.993790335 0.995338812 0.996533026 0.997444870 0.998134187 # [61] 0.998650102 'n' , # 不绘制x轴的刻度 'l' , # 使用曲线将各点连接起来 '标准正态分布的CDF曲线' ,'分位数(Quantiles)' ,'概率密度(Probability Density)' ) # 以下是添加x轴的刻度 # These commands label the x-axis 1 , at=which(pvalues == pnorm(-2 )), labels=round(pnorm(-2 ), 2 ))1 , at=which(pvalues == pnorm(-1 )), labels=round(pnorm(-1 ), 2 ))1 , at=which(pvalues == pnorm(0 )), labels=c(.5 ))1 , at=which(pvalues == pnorm(1 )), labels=round(pnorm(1 ), 2 ))1 , at=which(pvalues == pnorm(2 )), labels=round(pnorm(2 ), 2 ))
mark 以上就是标准正态分布的累积分布函数(CDF,Cumulative Distribution Function)曲线。
qnorm 简单来说，qnorm是正态分布累积分布函数(CDF,Cumulative Distribution Function）的反函数，也就是说它可以视为pnorm的反函数，这里的q指的是quantile，即分位数。
使用qnorm这个函数可以回答这个问题：正态分布中的第p个分位数的Z-score是多少？
现在我们来计算一下，在正态分布分布中，第50百分位数的Z-score是多少，如下所示：
qnorm(0.5 )# [1] 0 # 这里计算的就是在标准正态分布中，第50百分位数的Z-score是多少 0 )# [1] 0.5 # 这里计算的就是在标准正态分布中，当Z-score是0时，它对应的曲线下面积是多少，也就是对应的是哪个百分位数
再来看一个案例：在正态分布中，第96个百分位的Z-score是多少，如下所示：
qnorm(.96 )# [1] 1.750686
再来看一个案例：在正态分布中，第99个百分位的Z-score是多少，如下所示：
qnorm(0.99 )# [1] 2.326348
再来看一下pnorm()这个函数，如下所示：
pnorm(qnorm(0 ))# [1] 0 2.326348 )# [1] 0.99
从上面我们可以看到，pnorm这个函数的功能是，我们知道某个Z-score是多少，它位于哪个分位数上。
接着我们进一步举例来说明一下qnorm和pnorm的具体功能，如下所示：
oldpar <>1 ,2 ))# 设置绘图页面，页面布局是一行两列 0 , 1 , by = .05 )# 以5%为步长，生成0到1的百分数 # [1] 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 # [17] 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 # 计算每个百分位数对应的Z-score # [1] -Inf -1.6448536 -1.2815516 -1.0364334 -0.8416212 -0.6744898 -0.5244005 # [8] -0.3853205 -0.2533471 -0.1256613 0.0000000 0.1256613 0.2533471 0.3853205 # [15] 0.5244005 0.6744898 0.8416212 1.0364334 1.2815516 1.6448536 Inf
现在进行绘图，如下所示：
plot(qvalues,'l' , # We want a line graph 'n' , # No x-axis '概率密度(Probability Density)' ,'Z-scores' )# Same pnorm plot from before # Plot where y = values and x = index of the value in the vector 'n' , # Don't label the x-axis 'l' , # Make it a line plot '标准正态分布的CDF曲线' ,'分位数(Quantiles)' ,'概率密度(Probability Density)' ) # 绘制x轴的刻度 1 , at=which(pvalues == pnorm(-2 )), labels=round(pnorm(-2 ), 2 ))1 , at=which(pvalues == pnorm(-1 )), labels=round(pnorm(-1 ), 2 ))1 , at=which(pvalues == pnorm(0 )), labels=c(.5 ))1 , at=which(pvalues == pnorm(1 )), labels=round(pnorm(1 ), 2 ))1 , at=which(pvalues == pnorm(2 )), labels=round(pnorm(2 ), 2 ))
mark rnorm rnomr()函数的功能用于生成一组符合正态分布的随机数，在学习各种统计学方法时，rnorm这个函数应该是最常用的，它的参数有n,mean，sd，其中n表示生成的随机数，mean与sd分别表示正态分布的均值与标准差，现在举个例子，如下所示：
set.seed(1000 )# 设定随身数种子 5 )# 生成5个服从标准正态分布的随机数 # [1] -0.44577826 -1.20585657 0.04112631 0.63938841 -0.78655436 10 , mean = 70 , sd = 5 );n10# 生成10个，服从均值为70，标准差为5的正态分布的随机数 # [1] 71.80351 60.47042 73.38245 74.64034 73.20814 75.98877 78.17864 68.84888 72.23209 # [10] 81.19844 100 , mean = 70 , sd = 5 );n100[1 :10 ]# 生成100个，服从均值为70，标准差为5的正态分布的随机数 # [1] 62.09470 72.75453 65.42062 68.65545 76.84043 74.17830 75.40543 65.32326 70.71987 # [10] 70.81957 10000 , mean = 70 , sd = 5 );n10000[1 :10 ]# 生成1000个，服从均值为70，标准差为5的正态分布的随机数 # [1] 66.14695 70.16345 69.54554 76.15484 74.54789 71.78985 67.85345 73.85163 67.58083 # [10] 73.98425
现在我们绘制一下上面的几个向量的直方图，看一下它们的均值是否在70附近，如下所示：
oldpar <>1 ,3 ))# breaks为设置直方图的宽度 5 )20 )100 )
mark 在R语言中，生成不同分布的各种类型的函数都是以d,p,q,r开头的，使用原理跟上面的正态分布都一样。
参考资料 Introduction to dnorm, pnorm, qnorm, and rnorm for new biostatisticians
