数学变换的意义：直尺也能算乘除法

对信息专业的学生来说，本科阶段比较常用的变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换，当然还有希尔伯特变换等等，包括我们之前讲过的泰勒级数，我觉得也可以算是一种变换。

那我们为什么要搞这些稀奇古怪的变换呢？

因为，变换可以省事，极大地方便我们计算。

什么是变换

其实，我们高中就学过一种数学变换，那就是“对数运算”，这是一个通过变换来简化计算的典型而通俗的例子。

比如，需要计算：

8 × 16 = 128

用对数计算，可以转换成（以2为底）：

log(8 × 16) = log8 log16 = 3 4 = 7

如果下一个环节需要继续计算：

(8 × 16) × 32

我们可以直接将32也变换到“对数域”，即：

log32 = 5

则(8 × 16) × 32在“对数域”就变成了加法：

log[ (8 × 16) × 32 ] = log(8 × 16) log32 = 7 5 = 12

因此，对数可以将“乘除法”变换成“加减法”，这在数字较大、环节较多的场景优势更明显，比如，天文计算，天体动辄上亿的距离和质量。

更重要的是，乘除法运算就可能在“直尺”上实现，这就是后来“计算尺”的基本原理。

计算尺

在没有电子计算机的时代，计算尺是非常重要的发明之一，它帮助了无数工程师和科学家。

德国火箭专家冯·布劳恩二战后到美国从事航天工作时，随身带了两把1930年代的“Nestler”计算尺。

终其一生，他没有用过任何其它便携式计算器。

他的作品就是阿波罗登月飞船使用的大名鼎鼎的“土星”5号运载火箭。

拉普拉斯变换的疗效

• 将微积分转换为代数运算，应用场景：解线性微分方程。
• 将卷积运算转换为乘法运算，应用场景：传递函数

傅里叶、拉普拉斯变换和信号系统