炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)数学(理科)命题人：朱海棠贺祝华张天平欧阳普审题：高三数学备课组时量：120
分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数
z＝x＋yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若＝x＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(D)A．第一象限B．第二
象限C．第三象限D．第四象限2．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝4，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ的值为(B
)A.B．－C.D．－3．下列说法中正确的是(C)A．若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为5，则样本数据2x1＋1，2x
2＋1，…，2xn＋1的平均数为10B．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49
，则该班学生人数可能为60C．某种圆环形零件的外径服从正态分布N(4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测
得其外径为5.6cm，则这批零件不合格D．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群
中有95%的人可能患肺病4．已知(n∈N)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是(A)A．－84B
．84C．－24D．245.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，若a，b，c成等差数列，且b＞
0，则下列结论正确的是(A)A．f(b)＞0，且f(a)＋f(c)＞0B．f(b)＞0，且f(a)＋f(c)＜0C．f(b)＜
0，且f(a)＋f(c)＞0D．f(b)＜0，且f(a)＋f(c)＜0【解析】由已知，f(b)＞f(0)＝0.因为a＋c＝2b
＞0，则a＞－c，从而f(a)＞f(－c)＝－f(c)，即f(a)＋f(c)＞0，选A.6．设x为区间[－2，2]内的均匀随机数，
则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间内的概率为(C)A.B.C.D.【解析】因为当x∈[－2，0]时，y＝2x∈；当x
∈(0，2]时，y＝2x＋1∈(1，5]．所以当y∈时，x∈[－1，1]，其区间长度为2，所求的概率P＝＝，选C.7．已知函数f(
x)＝sin2x－2sin2x＋1，给出下列四个结论：(B)①函数f(x)的最小正周期是2π；②函数f(x)在区间上是减函数；③
函数f(x)的图象关于直线x＝对称；④函数f(x)的图象可由函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到．其中正确结论的个数是A．
1B．2C．3D．4【解析】f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin.①因为ω＝2，则f(x)的最小正周期T＝π，
结论错误．②当x∈时，2x＋∈，则f(x)在区间上是减函数，结论正确．③因为f＝为f(x)的最大值，则f(x)的图象关于直线x＝对
称，结论正确．④设g(x)＝sin2x，则g＝sin2＝sin＝cos2x≠f(x)，结论错误，选B.8.已知命题p：若a＞
2且b＞2，则a＋b＜ab；命题q：x>0，使(x－1)·2x＝1，则下列命题中为真命题的是(A)A．p∧qB．(綈p)∧q
C．p∧(綈q)D．(綈p)∧(綈q)【解析】若a＞2且b＞2，则<且<，得＋<1，即<1，从而a＋b＜ab，所以命题p为真．
因为直线y＝x－1与函数y＝的图象在(0，＋∞)内有唯一交点，则方程x－1＝有正数解，即方程(x－1)·2x＝1有正数解，所以命题
q为真，选A.9．已知实数x，y满足|x|＋|y|≤1，则z＝2|x|－|y|的最大值为(D)A．5B．4C．3D．2
【解析】令|x|＝a，|y|＝b，则且z＝2a－b.作可行域，平移直线l：b＝2a－z，由图知，当直线l过点(1，0)时，直线l的
纵截距最小，从而z为最大，且zmax＝2×1－0＝2，选D.10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，AB⊥AD，
BD⊥CD.将该四边形沿对角线BD折成一个直二面角A―BD―C，则四面体ABCD的外接球的体积为(B)A.πB.πC．2π
D．3π【解析】如图，因为平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，则CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB.因为AB⊥AD，则AB⊥平面AC
D，从而AB⊥AC，所以BC是外接球的直径．在Rt△BDC中，BC＝＝，则球半径R＝.所以外接球的体积V＝π＝π，选B.11．设双
曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若双曲线上存在点M满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|
，则双曲线的离心率为(C)A．6B．3C.D.【解析】过点M作x轴的垂线，垂足为A，因为|MO|＝|MF2|，则A为OF
2的中点，所以|AF2|＝，|AF1|＝.设|MF2|＝m，则|MF1|＝2m.在Rt△MAF1中，|MA|2＝4m2－c2.在R
t△MAF2中，|MA|2＝m2－，则4m2－c2＝m2－，即3m2＝2c2.因为|MF1|－|MF2|＝2a，则m＝2a，所以3
×(2a)2＝2c2，即c2＝6a2，所以e＝＝，选C.12．对于给定的正整数n，设集合Xn＝{1，2，3，…，n}，AXn，且
A≠．记I(A)为集合A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I(A)的和记为S(n)，则S(2018)＝(D
)A．2018×22018＋1B．2018×22017＋1C．2017×22017＋1D．2017×22
018＋1【解析】对于集合Xn，满足I(A)＝1的集合A只有1个，即{1}；满足I(A)＝2的集合A有2个，即{2}，{1，2}
；满足I(A)＝3的集合A有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…；满足I(A)＝n的集合A有2n－1个，所以
S(n)＝1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n－1.由错位相减法，得S(n)＝(n－1)2n＋1，所以S(2018)＝2017×
22018＋1，选D.二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知cos＝，则sin＝__－__．【解析】sin
＝sin＝cos2＝2cos2－1＝－.14．如图，在△ABC中，＝，P是线段BD上一点，若＝m＋，则实数m的值为____．【解
析】因为＝，则＝4，所以＝m＋.因为B，P，D三点共线，则m＋＝1，所以m＝.15．已知函数f(x)＝|2x－1|－a，若存在实数
x1，x2(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)＝－1，则a的取值范围是__(1，2)__．【解析】令f(x)＝－1，则|2x
－1|＝a－1.据题意，直线y＝a－1与函数y＝|2x－1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a－1＜1，即1＜a＜2.16．设
数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且Sn＝4－an(n∈N)，则数列{an}的通项公式是an＝____．【解析】当n≥
2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，则an＝an－1，即＝，所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，则＝，即an＝.三、
解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，
考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60
°，∠BCD＝120°.(1)若BC＝2，求∠CBD的大小；(2)设△BCD的面积为S，求S的取值范围．【解析】(1)在△ABD中
，因为AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，则BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝16＋4－2×4×2×＝12，
所以BD＝2.(3分)在△BCD中，因为∠BCD＝120°，BC＝2，BD＝2，由＝，得sin∠CDB＝＝＝，则∠CDB＝45°.
(5分)所以∠CBD＝60°－∠CDB＝15°.(6分)(2)设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°－θ.在△BCD中，因为＝＝4，则
BC＝4sin(60°－θ)．(8分)所以S＝BD·BC·sin∠CBD＝4sin(60°－θ)sinθ＝4sinθ＝3sin
2θ－2sin2θ＝3sin2θ－(1－cos2θ)＝3sin2θ＋cos2θ－＝2sin(2θ＋30°)－.(11分)
因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°，2分)18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝120°，D为BC的中
点．(1)求证：AD⊥PB；(2)若二面角A－PB－C的大小为45°，求三棱锥P－ABC的体积．【解析】(1)在△ABC中，由余弦
定理得BC2＝4＋16－2×2×4×cos120°＝28，则BC＝2.因为D为BC的中点，则BD＝CD＝.(2分)因为＝(＋)，
则2＝(＋)2＝(2＋2＋2·)＝(4＋16＋2×2×4×cos120°)＝3，所以AD＝.(4分)因为AB2＋AD2＝4＋3＝
7＝BD2，则AB⊥AD.(5分)因为PA⊥底面ABC，则PA⊥AD，所以AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB.(6分)(2)解法一：
因为AD⊥平面PAB，过点A作AE⊥PB，垂足为E，连结DE.则DE⊥PB，所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角．(8分)在R
t△DAE中，由已知，∠AED＝45°，则AE＝AD＝.(9分)在Rt△PAB中，设PA＝a，则PB＝＝.(10分)因为AB×AP
＝PB×AE，则2a＝×，即4a2＝3(4＋a2)，解得a2＝12，所以PA＝a＝2.(11分)所以VP－ABC＝×S△ABC×P
A＝××2×4×sin120°×2＝4.(12分)解法二：分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．
设PA＝a，则点B(2，0，0)，D(0，，0)，P(0，0，a)．所以＝(－2，，0)，＝(－2，0，a)．(8分)设平面PBC
的法向量为m＝(x，y，z)，则即取x＝，则y＝2，z＝，所以m＝.(9分)因为n＝(0，1，0)为平面PAB的法向量，则|cos
〈m，n〉|＝cos45°＝，即＝.所以＝，解得a2＝12，所以PA＝a＝2.(11分)所以VP－ABC＝×S△ABC×PA＝×
×2×4×sin120°×2＝4.(12分)19．(本小题满分12分)有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪
80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从
这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数101015
105乙公司天数101510105(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；(2)
假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：(ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；(ⅱ)小
张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．【解析】(1)由表知，
50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A，则P(A)＝＝.(3分)(2)(ⅰ)设乙
公司送餐员的送餐单数为n，日工资为X元，则当n＝38时，X＝38×6＝228；当n＝39时，X＝39×6＝234；当n＝40时，X
＝40×6＝240；当n＝41时，X＝40×6＋7＝247；当n＝42时，X＝40×6＋14＝254.所以X的分布列为X22823
4240247254p(7分)E＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝238.6.(9分)(ⅱ)依题意，甲公司送餐员
的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8，(10分)所以甲公司送餐员的日平
均工资为80＋4×39.8＝239.2元，(11分)因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．(12分)20．(本小题
满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且直线y＝x与圆x2＋y2－10x＋20＝0相
切．(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1
，k2，若k1，k，k2成等比数列，推断|OA|2＋|OB|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解析】(1)因为抛
物线y2＝4x的焦点为(，0)，则c＝，所以a2－b2＝3.(2分)因为直线bx－ay＝0与圆(x－5)2＋y2＝5相切，则＝，即
a2＝4b2.(4分)解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆C的方程是＋y2＝1.(5分)(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，
点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆方程，得x2＋4(kx＋m)2＝4，即(4k2＋1)x2＋8kmx＋4
m2－4＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.(7分)由已知，k2＝k1k2＝＝，则k2x1x2＝(kx1＋m)(kx2＋m)，即k
m(x1＋x2)＋m2＝0，所以－＋m2＝0，即(1－4k2)m2＝0.因为m≠0，则k2＝，即k＝±，从而x1＋x2＝2m，x
1x2＝2m2－2.(10分)所以|OA|2＋|OB|2＝x＋y＋x＋y＝x＋(kx1＋m)2＋x＋(kx2＋m)2＝(k2＋1)
(x＋x)＋2km(x1＋x2)＋2m2＝(k2＋1)[(x1＋x2)2－2x1x2]＋2km(x1＋x2)＋2m2.＝[4m2－
2(2m2－2)]－2m2＋2m2＝5为定值．(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－a(x－1)，a∈R，e
为自然对数的底数．(1)若存在x0∈(1，＋∞)，使f(x0)＜0，求实数a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同零点x1，x2，
证明：x1＋x2＞x1x2.【解析】(1)解法一：f′(x)＝ex－a.(1分)①若a≤0，因为ex>0，则f′(x)>0，此时f
(x)在R上单调递增．当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)＝e＞0，不合题意．(2分)②若a＞0，由f′(x)>0，得ex>a
，即x＞lna，则f(x)在(lna，＋∞)上单调递增，在(－∞，lna)上单调递减，所以f(x)min＝f(lna)＝e
lna－a(lna－1)＝a(2－lna)．(4分)据题意，则lna＞2，即a>e2，所以a的取值范围是(e2，＋∞)．(
5分)解法二：当x∈(1，＋∞)时，由f(x)＜0，得ex.(1分)设g(x)＝(x>1)，据题意，当x∈(
1，＋∞)时，a＞g(x)能成立，则a>g(x)min.(2分)因为g′(x)＝＝(x>1)，(3分)则当x＞2时，g′(x)>0
，g(x)单调递增；当1＜x＜2时，g′(x)<0，g(x)单调递减．(4分)所以g(x)min＝g(2)＝e2，故a的取值范围是
(e2，＋∞)．(5分)(2)由题设，f(x1)＝f(x2)＝0，即则ex1·ex2＝a2(x1－1)(x2－1)，即ex1＋x2
＝a2(x1x2－x1－x2＋1)．(7分)要证x1＋x2＞x1x2，只要证ex1＋x21<2lna－x2.(8分)不妨设x1＜x2，由(1)可知，a>e2，且x1＜lna＜x2，从而2lna－x2＜lna.因
为f(x)在(－∞，lna)上单调递减，所以只要证f(x1)>f(2lna－x2)，即证f(x2)>f(2lna－x2)．(
9分)设h(x)＝f(x)－f(2lna－x)，则h′(x)＝f′(x)＋f′(2lna－x)＝ex－2a＋e2lna－x＝
ex＋－2a≥2－2a＝0，所以h(x)在R上单调递增．因为x2＞lna，则h(x2)>h(lna)＝f(lna)－f(ln
a)＝0，即f(x2)－f(2lna－x2)>0，即f(x2)>f(2lna－x2)，所以原不等式成立．(12分)(二)选考
题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与
参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，
直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数)，点P在
曲线C1上，其极角为，点Q为曲线C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最大值．【解析】(1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝
4ρcosθ.将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ代入，得曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.(3分)由得x＋2y＝3
，所以直线l的普通方程为x＋2y－3＝0.(5分)(2)由题设，点P的极坐标为，其直角坐标为(2，2)．(7分)设点Q(2cos
α，sinα)，则PQ的中点M的坐标为.(8分)点M到直线l的距离d＝＝≤.所以点M到直线l的距离的最大值为.(10分)23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，其中a为实常数．(1)若函数f(x)的最小值为3，求a的值；(2)若当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤|x－4|恒成立，求a的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|，(3分)当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时取等号，则f(x)min＝|a＋2|.令|a＋2|＝3，则a＝1或a＝－5.(5分)(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝|x＋a|＋2－x，|x－4|＝4－x.由f(x)≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2，即―x－2≤a≤－x＋2.所以(－x－2)max≤a≤(－x＋2)min.(8分)因为函数y＝－x－2和y＝－x＋2在[1，2]上都是减函数，则当x＝1时，(－x－2)max＝－3；当x＝2时，(－x＋2)min＝0，所以a的取值范围是[－3，0]．(10分) |
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