运用向量破解圆锥曲线中的 夹角与共线问题

１．利用向量解决两直线的平行或点共线问题

证明两直线平行有两种方法：一是利用ａ 与ｂ 共线的充要条件，即当且仅当存在实数 λ，使 ａ＝λｂ 成立；二是利用向量的坐标形式，即利用两个向量 ａ＝（ｘ₁ ，ｙ₁ ），ｂ＝（ｘ₂ ，ｙ₂ ）共线的充要条件 ｘ₁ ｙ₂－ｘ₂ ｙ₁ ＝０ 解答，其中，ａ，ｂ 为两直线的方向向量．证明三点共线可转化为两个向量共线来证明．

本题也可以利用两直线的斜率相等来证明 Ａ₁ Ｂ₁∥Ａ₂ Ｂ₂，但计算量较大，这就是利用向量法解题的优势．

２．利用向量解决与角度有关的问题

利用向量的数量积可以判断这两个向量的夹角是锐角、直角还是钝角，进而可以判断三角形的形状和点与圆的位置关系．

本题也可以通过利用根与系数的关系确定圆心，然后计算圆心到点 Ｇ 的距离并和半径比较得解，由于要用到两点间的距离公式，出现根号，解题过程将十分复杂；但利用向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系，就不会出现根式，计算量大大减少．本题综合性较强，全面地考查了学生分析问题、解决问题的能力．