微积分是一种非常重要的“数学分析”思想(方法),在许多领域中都有应用,比如:计算平面面积、曲线长度、空间图形的体积、旋转曲面面积和物理学中的“微元法”等。而如何用好“微积分”是这部分学习的重点。要用好微积分,关键是理解透彻“微分-differential”和“定积分-Integral”的定义。微积分在英文中有时又被称为“Infinitesimal calculus”,即“无穷小量微积分”,这个名字从一定意义上可以帮助我们记忆“微积分”思想:在微观上上研究无穷小量的特征,找出规律,然后回到宏观上计算结果,控制误差。具体方法上,可以参考“Riemann积分”分为五步:分割、取点、近似、求和(求定积分)、分析误差。 一、分割 分割是微积分方法的第一步,也是微积分应用中非常重要的一步。算法中有“分而治之”的策略(Divide-and-conquer algorithms),微积分的“分割”也正暗合这种思想。另外所谓“微观化”,通俗理解就是取待研究的对象的一小部分作为单元,放大了仔细研究,找出特征,然后再总结整体规律。而微积分的“分割”也正是这个“取一小部分作为单元”。 对于直角坐标系分割,我们已经和熟悉了,前面将定积分定义的时候,就是在直角坐标系下用“矩形逼近”的方法来计算曲线与x轴围成的面积。它是沿x轴分割成n小段{Δxi},即在直角坐标系下分割是按自变量进行分割。 当然,直角坐标系下也可以沿y轴分割,本质上,直角坐标系中沿x轴分割和沿y轴分割意义是一样的。将沿y轴分割看作是: 将函数关系反转,同时也将坐标轴反转。 2,极坐标系分割 显然,极坐标分割的单元形状类似三角形而不是梯形或矩形。 二、取点根据积分的定义,取点具有任意性。但是,在实际应用中,为了简化计算或定性分析,我们往往会取一些特殊点,比如左端点或右端点。比如,为了证明这个不等式,我们会把左右两端的式子当作两条曲线的积分,而将中间的和式当作矩形之和,而每个矩形的左右两端点分别落在左右两条曲线上。 此外,Darboux Integral也是取得左右两端点。 三、近似近似是微积分方法最重要的一步。通过“分割”,有了微观上的“单元”后,这个“单元”还是不太适合直接研究,因为它不规则,只有通过近似,将这个不规则的“单元”近似为一个“规则的单元”,这样才能继续下一步研究。这么说来,“近似”是整个微积分中最有创意,最需要发挥人的联想能力的一步。 2)极坐标系曲线积分(上图) 待求解的是在区间[θ1,θ2]上曲线与原点围成的面积,因此套用的是圆弧面积公式。 3)平面曲线长度 4)极坐标曲线长度 注意,不能直接使用弧长公式 这个公式的推导过程中用到了π,而π本身就是近似得到的。 类似地,我们也可推广到旋转体的体积和表面积。 四、求和前面几步都是在微观层面进行的,只有通过“求和”(Riemann和)才能回到宏观层面。 其中,Fi表示各个微观单元的公式 五、误差分析近似”是发挥人联想能力的时候,但联想完了之后,我们要证明这种“近似”是可行的,即证明“误差在可接受范围内”。当然,对于误差的计算是要回到宏观层面上来的。一是我们原本要研究的就是一个宏观问题,最后的计算结果只有回到宏观上看才有意义;二是微观上的小误差有可能累积到宏观上变成大误差,正所谓“差之毫厘谬以千里”。 1,平面曲线积分误差分析 在“定积分”那一节,我通过“无穷小的运算”证明了“梯形近似”的误差 ϵ=O(Δx) ,同时也证明了“矩形近似与梯形近似的误差在同一个级别—— O(Δx) ”。 2,极坐标曲线积分误差分析 现在我们来证明极坐标曲线积分的“三角形近似”和“圆弧近似”的误差 ϵ=O(Δx)。 1)圆弧近似(Arc) 误差为 再算单元面积 有单元面积公式可知,Si与Δθi是一次线性关系,即 Si∼Δθi ,那么用弧形面积近似后误差 求和后总误差为 注意,这里为了计算方便,假设各子区域的误差相等。 所以,当Δθ→0时,ϵ→0 2)三角形近似(Triangle) 同样地,可以计算误差为: 根据无穷小的替换 此外,通过无穷小的替换,也可以证明这两个面积相等(Riemann和) 这里关于三角形近似与圆弧近似的论述,可能是因果颠倒的,但是能方便理解。 3,曲线长度计算的误差分析 1)“Δx”代曲线可行吗? 在计算平面曲线的积分时,我们不仅用“Δl”来代替曲线(梯形近似),而且为了简化计算,直接用“Δx”来代替曲线(矩形近似)。有没有很惊讶,这两种近似在求面积的时候误差是一个级别的(等价无穷小)。那么,是不是什么情况下都可以这么近似呢? 答案是,不能! 当我们求曲线长度的时候,如果用“Δx”来代替曲线,那么结果很明显是不对的(误差不可接受) 如下图,直观上都可以感受到这个误差之大。 在计算曲线长度的时候,我们只用“Δl”来代替曲线,并根据“Pythagoras定理”,将“Δl”换算为“Δx”,如下: 2)“Δl”代曲线的误差计算 每个单元误差为 求和后总误差为 注意,这里为了计算方便,假设各小段的误差相等。 所以,当Δl→0时,ϵ→0 3)两种近似的比较 六、练习求双纽线(lemniscate) 围成的平面区域的面积 解:先看lemniscate的图形,它是一个对称图形,只需要计算其中的四分之一区域的面积即可。 求心形线(heart-line) 围成的平面区域的面积 解:先看heart-line的图形,它也是一个对称图形,只需要计算其中的二分之一区域的面积即可。需要注意的是,为了美观,这个图与公式并没对应,按题中公式画出的是一个水平偏右的心形。
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