蝴蝶定理之一

本讲适合初中

蝴蝶定理

已知：过圆O的弦PQ的中点M任作两条相交弦AB、CD，联结AC、BD分别与PQ交于E和F。

求证：ME＝MF.

    根据维基百科[1]，此结论1803年被提出，1944年被命名为蝴蝶定理，确实本图形形状酷似一只翩翩起舞的蝴蝶。此题图形简洁、结论优美，证明却殊为不易。所以此题一经披露，就引起了众多关注，也出现了多种证明，常见的有10多种。1987年的文[2]比较全面的回顾了此定理的历史、并总结了一些证明。近年来，此定理又载沉载浮，出现了一些新的证明，分蘖出新的变种，并在竞赛及练习中时隐时现。本系列文章准备系统梳理此定理的经典证明，挖掘其本质，详细介绍各种变式，并结合最新题目展示其应用。第一篇文章准备先介绍本定理的五种典型证法。

    本定理证明的思路主要是两类:一类是纯几何方法，另一类是计算。计算方法又大概分为两类：三角计算（面积法、Menelaus定理、交比等）、解析法。

纯几何方法一

思路分析1：看到圆及中点M想到垂径定理，两边元素相对分散，考虑到将C关于OM对称到C’，倒角发现MBC’F共圆，然后利用全等即可。

证明1：

作弦CC'∥PQ，联结C'M、C'F。

则C、C’关于OM对称，

故∠FMC’=∠MC’C=∠MCC’=∠DBC’,

故M、B、C'、F四点共圆，

故∠F C’M=∠ABD=∠ECM,

又CM=C’M, ∠FMC’=∠EMC,

则△CME≌△C'MF(ASA),

故ME=MF。

注：1）此证法的巧妙之处在于充分利用已知条件及圆的的对称性，通过对称将A、C集中到同侧，发现四点共圆即得。这种变换技巧很经典，需要用心体会。

2）此解法是蝴蝶定理最常见的纯几何证法，最早发表于1955年2月的《中学数理》（School Sci. and Math.）上[2]。

纯几何方法二

思路分析2：显然OM⊥PQ，欲证ME=MF,即证△OME≌△OMF。显然△AMC∽△DMB，由对称性想到垂径定理，取AC、BD中点，从而得到共圆及等角，即得证。

证明2：

联OM，由垂径定理，OM⊥PQ。

再作OS⊥AC于S，OT⊥BD于T，

联结OE、OF、MS、MT。

由垂直得MESO及MFTO四点共圆，

则∠MOE＝∠MSE，∠MOF＝∠MTF，

而由△AMC∽△DMB及S、T为中点，

得∠MSA＝∠MTD(相似三角形对应角相等)

∴ ∠MOE＝∠MOF，

由此Rt△OME≌Rt△OMF（ASA），

故ME＝MF。

注：1)此证明的精妙之处在于取中点，利用相似三角形的对应角相等得到结果，这种技巧是很常见的，希望初学者仔细揣摩。

2)此证明源远流长，最早见于1815年《男士日记》（Gentleman’s Diary），作者为霍纳[2]。国内的经典几何名著[3]中也采用此证法。

三角计算方法一

思路分析3：用正弦定理及相交弦定理得到等式。

由正弦定理用各角及MP,MQ,ME,MF表示出AE，EC；DF，BF，

再由AE*EC=DF*BF即得。

注：此解法举重若轻、四两拨千斤，仅仅使用简单的正弦定理和相交弦定理，令人击节赞叹。此解法属于蒋声，最早见于1989年出版的[4]。

三角计算方法二

思路分析4：计算的基本想法是充分利用圆周角相等，希望得到一个关于PQ上的线段之间的一个比例式，对点A由分角定理可以表示出PE/EM,但是里面含有PA/AM;故再表示PQ/QM里面依然含有PA/AM，两式相比即可得到比例关系；对点D如法炮制，即可得到PQ上线段的等式，从而计算得到结果。

注：1)初学者对本证明的思路会感觉比较奇怪，但是对交比比较熟悉的读者不难发现，本证法相当于用交比的定义证明了沙勒（Chasles）定理：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ为圆锥曲线上的定点，Ｐ为其上动点，则交比Ｐ（Ａ,Ｃ;Ｂ,Ｄ）与Ｐ点的位置无关），本证明过程也显示了计算中交比的重要作用。

2)此证明最早出现于1957年米勒的《大学几何》（College Geometry）上。

解析法证明

思路5：用曲线系方法证明。如图建系，得到圆的方程，将直线AC、BD方程相乘拟合成二次曲线，进而得到过他们四个交点的二次曲线系方程，最后检验此方程在x轴上截距相等即可。

注：1）此证明虽然是解析法，但是并没有计算，只是高屋建瓴，用曲线系的思想迅速解决。本证法最早见于Satyanarayana发表在1981年的《数学难题》（Crux Mathematicorum）上，国内单墫单老的书[5]上也有类似证明和相关的研究。对曲线系不太了解的读者可以参考[5]。

2)本证法本质而简洁，而且可以大幅推广。首先发现不只是两条直线AC、BD满足条件，实际上过ABCD的任何二次曲线与x轴交于U、V，都有MU=MV，见上图。而且此证明不止适合于圆，当圆变为其他圆锥曲线时结论依然成立。这就把蝴蝶定理大大的推广到了圆锥曲线中。

本文按自己的理解，挑选了蝴蝶定理的五种最典型的证明方法，当然还有其他的证法，但是基本思路与上述证法大同小异，不再赘述。

    最后再说点题外话，为了完成本文，作者根据自己的积累和眼界，查阅了不少经典资料和文献，也通过网络搜寻了最新的相关文章，有发表在杂志上的，有发表在公众号上面的。很显然的结果是中文文献杂乱无章，延续性非常差，重复性很多，几乎没有参考文献，也不说明证明方法的出处，这会对查阅资料者造成巨大困扰。而且文章几乎都是只鳞片爪、支离破碎，没有总结或综述性的文章。本系列文章希望能弥补这个缺陷，能对蝴蝶定理做个综述。当然囿于水平，只能抛砖引玉，希望读者多多批评指正。

    也希望读者在以后的写作中多查阅资料，不要闭门造车、夜郎自大、自吹自擂。尽量列举重要的参考文献，利人利己。当然最好查阅外国人写得或者英文的资料，例如文[2]后面的参考文献多达47篇。为了学好数学，必须先学好英语，因为当今世界最有价值的知识几乎都是用英语写成的。还有如果你自己发现了一种证明或者一个结论，不要急着宣称是自己最早发现的，因为很可能是重复的。当然这也不是说就可以任意把别人的证明或者题目据为己有、在知道出处的情况下尽可能的注明题目或者解法的来源，这样利人利己，既尊重原创者又方便自己和读者积累查阅。

参考文献

1 https://en./wiki/Butterfly_theorem

2《圆锥曲线的几何性质》附录B：《蝴蝶问题的演变》蒋声 译 上海教育出版社 2002

3.《初等数学复习及研究（平面几何）》 梁绍鸿 哈工大出版社 2009

4 《初中几何妙题巧解》 蒋声 上海科技教育出版社 1989年10月

5 《解析几何的技巧》单墫 江苏教育出版社 2011年3月