|
前言：中考高频考点系列已陆续推出旋转结构、直角结构、一线三等角模型，今后还要推出中点结构、半角结构、手拉手模型，以及存在性问题等等，笔者花费了许多心血，根据近两年中考的趋势及热点，结合《新课标》的要求，对中考经常出现的题型，进行了归纳总结，要想在中考时取得好成绩，这些都是必须要掌握的知识。 每篇文章都是由典型例题、方法规律总结和精选的配套练习题（附答案）组成，内容完整详实，所有题型不偏不冷，完全针对中考出现的高频考点，进行讲练结合式的强化提高，这是一套很有收藏价值的资料。 本篇重点讲解“中点结构”。 数学是规律性很强的学科，比如辅助线的构造有很强的技巧性，而几何题中出现“中点”后，往往需要根据不同的条件作出辅助线，下面这些和中点有关的常用组合搭配，你能补全思路及图形吗？（文章末附有答案） 实战中，有些题表面上看没有“中点”，但是实际上“中点”已隐含在条件中，比如特殊四边形中，常常就有这样 的隐含条件，我们必须了解： ①平行四边形中隐含条件：平行、中点； ②菱形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直； ③矩形中隐含条件：平行、中点、垂直； ④正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直． 【典例讲解】 1、如下图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M为BC边的中点，若MN⊥AC于点N，则MN=__________． 解析：如下图，连接AM，则AM⊥BC，Rt△AMC中，用勾股定理求得AM=4，S△AMC=½MN·AC=½AM·MC，可求得MN= 12/5 . 点评：“等腰+中点考虑三线合一”，所以连接AM得到Rt△AMC，由此打开思路。另外，直角三角形求斜边上的高，经常用到的方法就是“等面积法”。 2、如下图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=__________． 解析：如下图，延长EF交CD的延长线于点G，由于大背景是“平行四边形ABCD中”，易证明△AEF≌△DGF,于是有EF=GF，∠G=54°，由CE⊥AB可得△ECG是直角三角形，F是底边中点，于是连接CF，则CF=½EG=FG,所以∠1=∠G=54°.又BC=2AB，AD=2FD，可推出DC=DF，即∠1=∠2=54°，所以∠CDF=72°，故∠B=72°. 点评：本题用到了两个基本搭配组合：①“平行夹中点，延长证全等”； ② “直角+中点考虑斜边中线等于斜边的一半”. 3、【包头中考】如下图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论： ①∠AEF=∠BCE； ②AF+BC＞CF； ③S△CEF=S△EAF+S△CBE； ④若BC：CD=√3：2，则△CEF≌△CDF． 其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 解析：由“同角的余角相等”很容易推出∠AEF=∠BCE，故①正确； 如下图，延长FE交CB的延长线于点M。由题意易证△AFE≌△BME,于是得到AF=BM，点E就是MF的中点，加上题中已知道MF⊥EC，可得△CMF是等腰三角形，CF=CM，AF+BC=BM+BC=CM=CF，故②错误； S△EAF+S△CBE=S△EBM+S△CBE = S△CEM，而 EC是△CFM的中线，三角形的中线平分面积，所以S△CEM=S△CEF，故③正确； ④中若BC：CD=√3：2，因为BE=½CD，所以BC：BE=√3，进而得到∠BCE=30°，所以∠ECF=∠FCD=30°，则可证△CEF≌△CDF（AAS），故④正确. 所以答案为：①③④ 点评：本题从“平行夹中点，延长证全等”的搭配组合出发作辅助线，得到等腰三角形和全等三角形，从而对前3个结论作出正确判断。第④个出现了“√3：2”，这是《课标》考查的第一个能力——数感，一般的，几何问题中看到√3就想30°、60°、120°、150°，往往能创造出新的解题条件。 本题涉及到了等腰三角形的性质、全等三角形的判定、三角函数等知识，还有“数形结合”、“截长补短”的数学思想（②的解决方法就相当于截长补短），从多个角度进行考查，这是一道质量相当高的好题型。 4、如下图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF 解析：如下图，延长AD到G使AD=DG，连接BG，由SAS可证得△ADC≌△GDB，所以AC=BG，∠FAE=∠G,又因为BE=AC，所以BE=BG，即∠G=∠BEG，由∠AEF=∠BEG,得∠FAE=∠AEF，由此AF=EF. 点评：“见中点，要倍长，倍长之后证全等”，倍长之后证三角形全等时，一般用的都是定理SAS. 5、如下图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，延长BA和CD分别与EF的延长线交于K，H.求证：∠BKE＝∠CHE.
解析：如下图，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE.
点评：题中若出现多个中点，一般考虑构造中位线。 【精品练习题】 1、如下图，△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是__________．
2、（郑州·中考模拟）如下图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝12，BD＝8，CD＝6，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A.14 B.18 C.20 D.22 3、（乌鲁木齐）如下图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为________．
4、（2017·遵义）如下图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 5、（2017·北京）如下图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
【答案】 常用的组合搭配： 等腰+中点考虑三线合一 直角+中点考虑斜边中线等于斜边的一半 平行夹中点，延长证全等 见中点，要倍长，倍长之后证全等 多个中点，考虑中位线 坐标系中见到中点，考虑中点坐标公式 平行线+角平分线出现等腰 三线中两线重合，考虑证等腰 【精品练习题】 1、4﹤AD﹤1 2、D 3、1.5 4、A 5、（1）略 （2）√3 |
|
|
