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引爆朋友圈的 Twitter 截图,迈克尔 · 阿蒂亚爵士在今日于德国举办的海德堡获奖者论坛上宣讲其证明。图中表明,阿蒂亚宣布「我将展示一个简单的证明,用一种全新的方法」,这个证明基于冯诺伊曼(1936)、希策布鲁赫(1954)和狄拉克(1928)的相关研究。 黎曼猜想 1900 年在法国巴黎举行的第二届国际数学家大会上,德国数学家希尔伯特做了《数学难题》的演讲,列举了他认为最重要的 23 个数学难题。100 年之后的 2000 年,美国克雷数学研究所也在巴黎发起了一个数学会议,参会数学家共同讨论并列出了最重要的 7 个数学难题,还为每个难题设置了 100 万美元的奖金。没错,这就是著名的「千禧问题」。 而无论是 23 个希尔伯特难题还是 7 个「千禧问题」,只有一个问题同时出现,那就是黎曼猜想。 国内知名科普作家卢昌海对于黎曼猜想如此评价:
所以,什么是黎曼猜想? 黎曼猜想是数学家黎曼在 1859 年向柏林科学院提交的一篇短论文(才八页)中提出的,这篇论文讨论的是素数分布的问题。素数分布在数论中有很重要的地位,相当于原子概念在现代物理学中的地位。黎曼发现,素数分布的规律就隐藏在某个函数的零点分布中。这个函数就是黎曼 ζ 函数: 黎曼 ζ 函数 黎曼将该函数解析延拓至整个复平面,并指出:黎曼ζ函数的非平凡零点(是指 s 不为-2、-4、-6‧‧‧等点的值,这些都是平凡零点)的实数部分都是 1/2。也就是说,这些非平凡零点都分布在复平面的 Re(z)=1/2 的直线上(即下图中的虚线)。 1901 年 Helge von Koch 指出,黎曼猜想与强条件的素数定理等价,其中π(x) 为不大于 x 的素数个数。目前已验证最初的 1,500,000,000 个素数对这个定理都成立。但是否所有的解对该定理都成立,尚无证明。 黎曼猜想与数论中的素数分布问题有着非常紧密的联系。数论是数学的重要分支,在数论中,素数分布问题又是一个重要研究课题。也就是说,黎曼猜想的证实对数论也有很重要的影响。此外,人们还发现黎曼猜想与某些物理现象存在关联,这也增加了黎曼猜想在物理学界的影响力。 黎曼猜想及推广形式的成立是现有很多数学命题的前提。如果黎曼猜想及其推广形式被证明,这些数学命题都将变为数学定理;反之,一旦黎曼猜想被证伪,将有 1000 多个数学命题成为黎曼猜想的「陪葬品」。要证伪黎曼猜想,只需要找到一个不在 Re(z)=1/2 这条直线上的非平凡零点即可,当然目前并没有发现这样的零点。
迈克尔 · 阿蒂亚爵士的证明 迈克尔 · 阿蒂亚 (Michael Atiyah, 1929.4.22-) 是英国著名的数学家,也是当代最伟大的数学家之一。他的主要研究领域为几何,1960 年代他与伊萨多·辛格合作,证明了沟通数学分析和拓扑学两大领域的阿蒂亚-辛格指标定理。1966 年,阿蒂亚爵士荣获菲尔兹奖,2004 年与辛格共同获得阿贝尔奖。 今年向黎曼猜想发起挑战的阿蒂亚爵士已经 89 岁了。 因年龄以及状态问题,在 Twitter 截图爆出后,有些人质疑阿蒂亚爵士宣称的内容。援引公众号科研圈的内容表示,「阿蒂亚爵士近来状态不佳,先前提出的命题未得到证明;而且他已经 89 岁高龄,几乎没有数学家能在这样的年龄作出成绩。美国数学物理学家约翰 · 卡洛斯 · 贝兹(John Carlos Baez,推特 @johncarlosbaez)在推特留言:我看这个证明站不住脚。阿蒂亚最近的大发现都站不住脚,比如他说要证明六维球面没有复结构。每个熟悉他的人都不好意思公开讨论原因。」 当然,他也有一批支持者,认为「我想如果有谁能完成这件事,那就是阿蒂亚。」(出自英国应用数学家马特 · 亨特 Twitter) 阿蒂亚在晚年不乏雄心,面对外界的质疑,他曾经说道:「我已经得到了我需要的所有奖项,我还能失去什么?这就是为什么我在冒着一个年轻学者不敢冒的风险。」 无论是质疑还是支持,阿蒂亚爵士口中的「一个简单的证明,一种全新的方法」今日最终在海德堡获奖者论坛上公布: 因观看人数过载,直播崩溃,官方改为手机直播,经机器之心留言提醒,官方终于把直播画面对准PPT,感动。 首先,Michael Atiyah 介绍了素数研究的历史以及素数与黎曼猜想的关系。 他还开了个玩笑,「解决黎曼猜想你会出名,但如果你已经是个名人,那就有声名狼藉的风险了。」 Atiyah 花了很多时间介绍欧拉公式,这并不是因为它连接了虚数等各种元素的美丽,同时还因为连接冯诺伊曼和 Hirzebruch 关键思想可以得出更加一般的欧拉表达式,这对于以新的角度审视与证明黎曼猜想非常重要。Atiyah 说:「欧拉公式相当于莎翁『生存或毁灭』的数学等价物。」 为什么黎曼猜想如此有趣却那么难以证明?Michael Atiyah 表示主要有以下三个方面,首先素数表现出局部不规则性,却又渐进地表现出一些规律;其次要想知道 N 以内的素数数量,这是非常困难的;最后这些困难与疑惑,很多都能通过黎曼猜想得到解释,因此即使它还没有被证明,实际上已经有很多推理都建立在它之上了。 此前有很多人猜测,Michael Atiyah 会使用量子力学来证明黎曼猜想,但 Atiyah 在演讲中表示证明黎曼猜想的是 Todd 函数: Atiyah 介绍了 TODD 函数与黎曼猜想之间的关系,以前我们无法证明黎曼猜想,但有了新工具后就有可能解决这个问题。TODD 函数最重要的属性是能发展一种对精细结构常数 α 的解释。 然后,重点来了,30 分钟介绍了黎曼猜想历史,终于到了证明的时刻。阿蒂亚爵士表示,所有的证明都在以下一页 PPT 上。 那么证明黎曼猜想后我们又能干什么呢?Michael Atiyah 表示 RH 能推广到多种情况,并且一步步得到证明。同时我们需要对素数实现数值计算的结果,它的证明对年轻的数学、计算机科学、逻辑学和物理学研究者非常重要,但期待 RH 的无限扩展却又是不可判定的。 最后,阿蒂亚爵士总结了未来预期可以做的任务:使用已有的最强大的工具;验证所有著名的猜想(已证明的、未证明的);确定那个可有效计算(在需要的时间尺度上);确定决定我们有时间完成。 以上就是阿蒂亚爵士在 HLF18 上的所有演讲内容了,之后官方会有完整视频放出。演讲结束后,Twitter上大家进行了激烈讨论,对这一页证明能否解开黎曼猜想抱有不同态度。 其实,在大会开幕之前,网上已经传播称阿蒂亚爵士放出了预印版论文,机器之心只查到该论文出自数小时前 Reddit 上的一篇讨论,未能确认其出处与权威性,但 Reddit 讨论中有用户表示这篇预印文章的来源似乎是一个 email list,但是最原始的发件人并不是 Atiyah,而是一个人自己说收到了 Atiyah 的 email。 直播结束后,仍未有消息确定此论文的准确来源。 机器之心将其预印论文附在下面,读者可自行研究。这篇预印本论文非常短,机器之心仅简要介绍了前言部分,其它更多的内容与证明需要查看原文档。
以下是原文档:
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