|
《黎曼Zeta函数与黎曼猜想》 黎曼猜想曾被希尔伯特（Hilbert）列入他的二十三个问题的第八问题，现在又被列为美国克雷数学研究所提出的千禧年七大待解决难题之一。如今的数学文献中，已经有超过一千条数学命题以黎曼猜想的成立为前提，与众多数学分支之间存在着千丝万缕的联系。
黎曼ζ函数ζ(s)是: 上面这个数学公式太复杂了，我们看下面的直观的表示： 如果令s=2，代入得到： 那么这个函数值等于多少呢？ 实际上这个问题也是数学历史上一个著名问题：后来被数学家欧拉解决了！ 欧拉是谁？ 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 [1] 此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师 那么这个函数值等于多少呢？ 太神奇了，和圆周率有关系！！！！神马的π无处不在啊！！！！ 再试试S取其他的值看看有什么结果？ 令S=-1,代入： 是我们熟悉的正整数的和!!! 当然S还可以取复数：（什么是复数，请自行学习和阅读现行高中教材《2-2》） 在复平面上的解析延拓，运用路径积分解析延拓后的黎曼ζ函数可以表示为： 运用如上式子可以证明黎曼ζ函数满足如下函数方程： 什么是复平面？
黎曼ζ函数满足如下函数方程：
从上面不难得出此函数在s=-2n（即负偶数）处取值为零（通过正弦值计算）.这些分布有序，性质简单的零点便是黎曼ζ函数的平凡零点。 平凡零点为：
下面才是本文的主角：
关于黎曼ζ函数非平凡零点的研究构成了近代数学中最艰深的课题之一。
黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re（s）=1/2的直线（临界线）上。 什么意思？
黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上图中红色的直线上!!!!
黎曼猜想登场于黎曼在1859年发表的那一篇《论小于给定数值的素数个数》的论文。
在这篇论文之中黎曼从欧拉乘积公式（欧拉在用这个公式证明了素数有无穷多个之后便鸣金收兵）出发，沿着一条艰辛的道路，开辟了素数研究的崭新天地。在这篇文章中黎曼展现了他高屋建瓴的宏伟视野，整篇文章高度浓缩的文句之中蕴含着极其丰富的数学结果。比如他文章中在结果后面轻描淡写的一句“这是完全普遍的”，与之相匹配的结果后人都需要40年的时间才能得到（例如梅林变换）。 [注释：什么是欧拉乘积函数：数论中，欧拉乘积公式（Euler product formula）是指狄利克雷级数可表示为一指标为素数的无穷乘积。这一乘积以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的名字命名，他证明了黎曼ζ函数可表示为此无穷乘积的形式：
黎曼在这篇论文中研究了黎曼ζ函数的非平凡零点分布，并为此提出了三个重要命题：
命题一：在0<> 命题二：在0＜Im(s)＜T的区域内，ξ(s)的位于Re(s)=1/2的直线上的零点数目也约为(T/2π)ln(T/2π) -(T/2π)。 命题三：ξ(s)的所有零点都位于Re(s)=1/2的直线上 黎曼的这三个命题就像三座渐次升高的山峰，他第一个命题的证明让数学界等待了46年（黎曼自己认为这不算什么而直接写下了结果）；他的第二个命题让数学界已经等待了大半个世纪，而这个结果依然比人们得到的结果强很多（黎曼自己说这个可以从新的表达式里得到，但他还没有把这简化成可以发表的结果）；而他的第三个命题便是著名的黎曼猜想（就连一直举重若轻的黎曼自己，也在文章中使用了非常可能这样的不确定语气） 黎曼的论文体现了高度的言简意赅，他除了没有对所涉及的许多命题给予证明之外，也没有给出包括黎曼猜想在内若干最困难问题的数值计算方面的支撑，甚至没有给出任何一个非平凡零点的值： 非凡零点的计算的历程 44年后，丹麦数学家格拉姆给出了前15个非凡零点的计算结果（实部为0.5的虚数）
那时格拉姆采用的方法是欧拉——麦克劳林公式，在那个只有纸和笔的时代，哪怕经过哈代，利特尔伍德等人的改进，到1925年人们也只计算出了前138个零点.(此时距离黎曼提出猜想已经过了66年) 由于在对黎曼猜想的研究之中，攀登主峰的进程屡受挫败，而计算零点也变得举步维艰，人们对黎曼的怀疑声不可避免的出现了。这时人们对黎曼的结果到底是只凭直觉还是有其他根据产生了怀疑，这个问题的答案自然不能在黎曼那篇言简意赅的论文中找到答案，这使得人们转向了黎曼的手稿. 幸的是，黎曼手稿中的很大一部分被他的管家付之一炬，只有少部分被他的妻子抢救了出来，之后在戴德金，哈根等人中流转。最终有部分被戴德金留在了哥根廷大学的图书馆里，只就是现在能看到的全部手稿。不过尽管如此，黎曼这份天马行空，论题混杂，满篇公式却没有一点文字说明的手稿给后人带来了巨大的障碍。直至1932年，西格尔终于从这部天数之中，破译出了黎曼——西格尔公式。
在黎曼的手稿中，西格尔发现了黎曼对非平凡零点的计算值，这个计算值比格拉姆早了44年，而黎曼用来计算零点的方法比73年间人们使用的要高效的多(从O(t)优化到O(t^1/2))。在这四年之后，人们便成功的计算出了前1041个零点，正如所料，他们都在临界线上。
随后图灵曾野心勃勃地试图通过机器计算找到黎曼猜想的反例，结果以失败告终。不过计算机的引入时的零点计算在1969年爆发式增长到了3500000个 仅过了几年荷兰数学家便已经计算出了前两亿个零点且没有出现反例 进入2001年，德国IBM实验室开启了一个叫做Zeta Grid的计划建立起来远胜于以往的计算系统。任何人只要下载一个软件包就可以让自己的机器加入Zeta Grid，这样大量的计算工作通过网络发散到了大量计算机上。到2004年这一系统贡献的零点数量了850000000000（八千五百亿个）并以每天近十亿个的速度增长。最后这个项目在2005年以超过10000000000000（十万亿）的成绩画下句号。 关于黎曼猜想与素数的关系以及黎曼猜想和物理研究的关系
质数的研究 在自然数序列中，质数就是那些只能被1和自身整除的整数，比如2，3，5，7，11等等都是质数。4，6，8，9等等都不是质数。 古希腊时期，彼时欧几里得用反证法证明了自然数中存在着无穷多个质数。 1737年，瑞士的天才数学家欧拉（Euler）发表了欧拉乘积公式。 数学王子高斯（Gauss）和另一位数学大师勒让德（Legendre）深入研究了质数的分布规律，各自独立提出了质数定理。这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率，且和实际计算符合度很高。 年仅33岁的黎曼（Riemann）当选为德国柏林科学院通信院士。出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情，他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确分布规律。 黎曼Zeta函数 黎曼在文章里定义了一个函数，它被后世称为黎曼Zeta函数，Zeta函数是关于s的函数，其具体的定义就是自然数n的负s次方，对n从1到无穷求和。因此，黎曼Zeta函数就是一个无穷级数的求和。然而，遗憾的是，当且仅当复数s的实部大于1时，这个无穷级数的求和才能收敛（收敛在这里指级数的加和总数小于无穷）。 黎曼用十分谨慎的语气写到：很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线，从此被称为临界线。 而最后这个命题，就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。 有人曾经问希尔伯特，如果500年后能重回人间，他最希望了解的事情是什么？希尔伯特回答说：我想知道，黎曼猜想解决了没有。美国数学家蒙哥马利（Montgomery）曾经也表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。黎曼猜想，俨然就是真理的宇宙里，数学家心目中那颗最璀璨的明星。 从黎曼遗留下来的部分草稿来看，他的数学思想和功力已经远远超越同时代的数学家。即使是几十年后被陆续发现的手稿中体现出来的能力水平，也让当时的数学家难以望其项背。因此，人们有理由相信，这是一个伟大数学家的自信和坦然。 尽管黎曼猜想成立与否不得而知，数学家们还是倾向于它的正确性。一个半世纪以来，人们在假设黎曼猜想成立的情况下，以它作为基石，已经建立了一千多条定理，并且打造了无比辉煌的数论大厦。然而一旦黎曼猜想找到反例被证伪，这些精美的大楼就会如空中楼阁一样昙花一现，最终崩塌，给数论带来灾难性的结果。 黎曼（Riemann）一举揭示了质数最深处的秘密，出了质数分布的精确表达式。人们第一次能够近距离窥视质数们在自然界跳舞的规律，
物理世界的奇遇 在理论和计算的突破猛进下，人们开始关注零点在临界线上的分布规律。数学家蒙哥马利（Montgomery）发现零点分布的规律竟然和孪生质数对在数轴上的分布规律类似。受此启发，他写下了一个关联函数来描述这种规律。令人惊奇的是，该函数描述的理论结果和实际计算结果几乎完美地吻合。 蒙哥马利隐约觉得这背后隐藏着巨大的秘密，却又百思不得其解。带着这一疑问，他在1972年访问了普林斯顿高等研究院。 在下午茶的阶段，他偶遇了物理学家戴森（Dyson）。由于彼此研究领域的巨大差异，两人只是礼貌地寒暄了一下。戴森随口问问蒙哥马利研究的课题。他将心中的困惑全盘托出，这差点惊掉了戴森的下巴。原来，让蒙哥马利云里雾里的关联函数正是戴森研究二十年的成果——这不是别的，正是一类随机厄密矩阵本征值的对关联函数。这是一个描述多粒子系统在相互作用下，能级分布规律的函数。 一边是纯数学的黎曼猜想，它关乎的仅仅是一个Zeta函数非零点分布这样最纯碎的数学性质，揭示的是质数在自然数序列里优雅的舞姿和节奏。另一边，却是最现实的物理世界，它连接着量子体系、无序介质和神经网络等等经典的混沌系统。 理论和现实在这里交汇，在封闭的世界里独自发展了两千多年后，作为数学最主要的分支——数论终于将触角探及真实的时空。时至今日，人们对此呈现出的种种不可思议的关联仍然感到匪夷所思。 结束语： 英国90岁高龄当代卓越的数学家阿蒂亚将在2018年9月24日海德堡数学论坛上宣布的他证明黎曼猜想的论文，不管能否成功，我们都要为这种科学研究的精神鼓掌。 本文收集整理了多篇有关黎曼猜想的文章，形成了本文. (侯立伟，中国人民大学附属中学) |
|
|
