随机过程的概念理解

先前概念：

1、样本点  ζ：

　　随机试验每个可能出现的结果。

骰子有6面，分别记为‘A’、‘B’、‘C’、‘D’、‘E’、‘F’。掷骰子一次，记录结果，则该随机试验的样本点有6个，其中一个比如为“A面朝上”。

 

2、样本空间  Ω：

　　全体样本点的集合。

 

3、事件：

　　Ω的子集。

“A面或C面朝上”

 

3、事件域  F：

　　Ω所有的子集的集合，即事件的集合。

 

4、概率  P：

　　姑且可以理解为某个事件发生的可能性。

 

5、概率空间（Ω，F，P）

 

6、随机变量  X：

　　已知一个概率空间（Ω，F，P），如果对于其样本空间Ω上的每一个样本 ζk ，都有一个实数xk = X(ζk) 与它对应。对应于所有样本ζ∈Ω，则得到定义在Ω上的单值实函数X（ζ）。若每个实数x的数集{X（ζ）<=>

 

7，二维随机变量：

　　X、Y 为定义在同一个概率空间（Ω，F，P）上的两个随机变量，则称其总体（X、Y）为二维随机变量。

 

8、数学期望：

　　对随机变量的所有可能值作统计平均，这里所有可能值对应于样本空间内所有样本点 所映射的实数值。

 

 

随机过程：

　　举例，掷骰子，掷3下，分别在t1、t2、t3 三个时刻记录结果。“A上”对应于实数1；“B上”对应于实数2；“C上”对应于实数3 ，以此类推。。

　　这就是一个定义在三个时刻上的离散函数，当然可以去定义一个连续的函数。

　　　但是呢，这个函数很奇怪，因为这个函数有多种情况，你可以理解为好多人在和你一起且在同样的三个时刻掷骰子，所以会有不同的函数出现。而这种情况，其实就对应了随机变量，我们把所有的函数情况的集合叫作样本空间，某一种函数叫作样本点，显然总共有6*6*6个不同的样本点。

　　但是这个和前面定义的有所不同的是，每个样本点所做的映射不再是一个实数值，而是一个函数，一个随时间变化的函数，也就是我们在原来随机变量的基础上，由一个固定的实数值拓展到一个随时间变化的实数，即函数。所以此时这就不是一维的随机变量了，而是二维的一个“随机过程”。

 

　　如果我们去固定样本，在时间维度去观察这个随机过程。

　　若样本固定在ζ1 处，好比第一个人去掷骰子，则随机过程退化为函数1 。X（t1,ζ1）= 1；X（t2,ζ1）= 2；X（t3,ζ1）= 3；

　　若样本固定在ζ2 处，好比第二个人去掷骰子，则随机过程退化为函数2 。X（t1,ζ2）= 2；X（t2,ζ2）= 2；X（t3,ζ2）= 5；

　　共有6*6*6个不同的样本点。在人数很大的情况下，最多会出现216种不同的函数。

　　

　　如果我们去固定时间，在概率空间里去观察这个随机过程。

　　若时间固定在t1 处，则随机过程退化为随机变量1 。P（t1, 'A上'） = 1/6；P（t1, 'B上'） = 1/6；P（t1, 'C上'） = 1/6  ...  P（t1, 'F上'） = 1/6。

　　若时间固定在t2 处，则随机过程退化为随机变量2 。P（t2, 'A上'） = 1/6；P（t2, 'B上'） = 1/6；P（t2, 'C上'） = 1/6  ...  P（t2, 'F上'） = 1/6。

　　若时间固定在t3 处，则随机过程退化为随机变量3 。P（t3, 'A上'） = 1/6；P（t3, 'B上'） = 1/6；P（t3, 'C上'） = 1/6  ...  P（t3, 'F上'） = 1/6。

 

　　我们发现在固定时间时，退化的随机变量的样本和原来随机过程的样本是不一样的，前者是“A上”“B上”之类，映射到实数值，而后者是三次时刻的结果的一个排列，映射到一个随时间变化的实数值，即函数。

 

　　我为什么写这篇博客呢？

　　我们往往都知道随机过程是个二维的，且明白固定时间后会退化成一个随机变量。但是很多人，包括我之前，在另一维的理解是错误的。有人会认为随机过程的样本就是“A上”“B上”之类，共有6个样本点。所以有固定时间相对应的就去固定比如为“A上”在时间域上变化的函数，P（t1,'A上'）=1/6；P（t2,'A上'）=1/6；P（t3,'A上'）=1/6。这是错误的！

 

　　要去理解好随机过程的样本和样本空间究竟是什么，样本应该是（如果函数是离散的）就是不同时刻下的排列，不同的排列就是不同的样本。为什么会这样呢？

　　比如还是这个例子，我们要明白我们去做掷骰子的试验目的是什么，目的是找到一个随时间变化的函数，而由于函数不是一个固定的，也就是不同人所确定的函数可能是不同的，所以我们去逮了好多人（很多很多，以保证概率）来一起做这个实验，所以每个人就是一个样本，它对应的就是那个人所确定的函数。

　　比如我们去研究一个接收机的噪声电压变化，因为噪声往往是随机的，所以电压变化函数也是随机的，所以每个函数就对应了一个样本。

 

　　由此我们再去理解一道题目，也正是这道题，让我发现了我原来的理解是有错误。

　　已知一个随机过程由四条样本函数组成，而且每条样本函数出现的概率相同，求自相关函数Rx（t1,t2）。

　　

	ζ1	ζ2	ζ3	ζ4
X(t1)	1	2	6	3
X(t2)	5	4	2	1
P	1/4	1/4	1/4	1/4

 

 　　Rx（t1,t2） =  E【X(t1) X(t2)】 。

　　由前面数学期望的定义，应该是定义在样本空间上的统计均值，这里注意，是样本空间，而根据我们前面分析，这里样本空间只有4个样本点。所以答案是：

　　　　1/4 * （1*5 + 2*4 + 6*2 + 3*1）.这是一维的求和。

　　不是16个值相加！！！不是二维的求和！！！

 

　　但是在随机过程的期望定义就是定义在二维上的啊。。。

 

 其实我们应该这么理解这个积分，这个积分确实是二维的，但是期望是定义在样本空间上的，所以对应的积分也是定义在样本空间对应的值域上，这个值域是二维的，但是并不是4*4的，因为总共只有4个样本，所以值域就是

(1,5) 、（2,4） 、（6,2） 、（3,1） 四个点，而其他点比如（1,4） 、（2,2）并不在这个二维积分的积分空间上，所以答案如前所说。

 

　　　　所以一个随机过程的两个不同时间所对应的两个随机变量，我们是不能简单将其理解为一个二维随机变量，当然抛开随机过程这个大环境，这两个确实可以理解为一个二维随机变量。但是！你一定要明白这里的随机过程的样本和退化后的随机变量的样本是完全不同的！而在随机过程中，我们更会去在意前者所带来的数字特征效果，若是弄混淆了，会对很多地方的理解造成不必要的偏差。