函数背景下的面积最值问题,不管是三角形还是四边形,统一解决的方法是:列出函数关系式,根据函数增减性求出最值。这一招是通用的解题思路,区别只是求函数解析式时,所用的的方法略有不同,具体如下: 以上3种情况,第一种是基础性的常规问题,后两种常作为中考考点出现,其中,第二种求三角形面积的公式,也可以记作:水平宽×竖直高. 下面结合例题详细说明。 【典例1】 (1)求抛物线的表达式; (2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴,并沿x轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 P、Q两点(点 P在点Q的左侧),连接 PQ,在线段 PQ上方抛物线上有一动点 D,连接 DP、DQ. (Ⅰ)若点P的横坐标为 -1/2,求△DPQ面积的最大值,并求此时点D的坐标; (Ⅱ)直尺在平移过程中,△DPQ面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由. 本题详细解答如下: 【方法总结】坐标背景下经常要根据点的坐标表示出某个线段的长度,若是水平方向的就是“右减左”;若是竖直方向的就是“上减下”,比如题中求竖直方向线段DE的长度,就是点D的纵坐标减去点E的纵坐标。另外,先表示出函数的表达式,再利用函数的增减性求最值,除了可以解决三角形的面积最值外,还可以求解线段长、三角形或者四边形的周长最值。 【典例2】 (1)求抛物线的解析式; (2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得△BCD的面积最大?若存在,求出点D的坐标及△BCD面积的最大值;若不存在,请说明理由. 【方法总结】要求△BCD面积的最大值,观察发现,S△BCD不容易利用底×高求出.过点D作x轴的垂线交BC于H,将△BCD分成两部分,利用S△BCD=S△CDH+S△BDH,其中将DH作为底边,由于高的和为定值,即求线段DH的最大值. 【配套练习】 (1)求该抛物线的解析式; (2)抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小,并求出点K的坐标; (3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QD∥AC,交BC于点D,连接CQ. 当△CQD的面积最大时,求点Q的坐标. 答案: |
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