交比总结

imelee 2018-10-08

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截线是指同时穿过两条直线（或线段）或两条以上的线系的直线（或线段）。也可以理解为用某直线（或线段）去截取两条直线（或线段）或两截线被截线三线八角

在交比(p1,p2；p3,p4)中，分号前的两个点p1,p2被称为基点偶（从名称来看，是因为前两个点常被用来作为参考基点），分号后的两个点p3,p4被称为分点偶（顾名思义，分割直线的两个点）。四个共线点p1,p2,p3,p4按照命名方式，在几何位置上并无限制。可能按顺序排列，也可能相互交错。我在上一篇文章《交比不变》中总结了交比的定义，这里要利用定义给出交比的性质。

选择直线l上任意两个参考点a和b，按照统一的方式对l上的四个共线点p1,p2,p3,p4进行参数化。得到pi=a+λi*b,其中i=1,2,3,4。因此有：

(p1,p2;p3,p4)=(λ1-λ3)*(λ2-λ4)/[(λ2-λ3)*(λ1-λ4)] (1)

使用a~b表示从a到b的有向线段长度，则交比又有几何定义：

(p1,p2;p3,p4)=p1~p3*p2~p4/(p2~p3*p1~p4) (2)

令(p1,p2;p3,p4)=r，由(1)式可以得到交比的性质如下：

1.交换基点偶和分点偶，交比不变；(p3,p4;p1,p2)=r；

2.基点偶和分点偶内部同时互换，交比不变；(p2,p1;p4,p3)=r；

3.基点偶或分点偶内部互换，交比变成倒数；(p2,p1;p3,p4)=(p1,p2;p4,p3)=1/r；

4.交换中间或者首尾两个点，交比变成1-r；(p1,p3;p2,p4)=(p4,p2;p3,p1)=1-r；

四个点的排列共24种方式，所有交比只有6种不同的结果：r,1/r,1-r,(r-1)/r,1/(1-r),r/(r-1)。

特殊情形：若共线的四点交比出现0,1,∞三者之一时，则说明四个点中有两个点重合；反之亦然。由(1)式和交比性质，很容易验证此命题。

调和比：若(p1,p2;p3,p4)=-1，则称交比为调和比；称共线四点p1,p2,p3,p4为调和点列（或称四点调和共轭）。由(1)式可知，四个共线点p1,p2;p3,p4互异。根据交比的性质，构成调和比的四个点拥有三种可能的交比值：-1,2,1/2。调和比是很重要的交比，因为有特殊的几何意义。若满足调和比的共线四点中p4是无穷远点，则p2~p4/p1~p4=1。由(2)式可知p1~p3/p2~p3=-1，因此p3是p1和p2的中点。

简便起见，四个共线点用A,B,C,D表示（齐次坐标点），令AB表示从A到B的有向线段长度。若四点组成调和点列，则线段AC的长度为AB和AD的调和平均数，即：

2/AC=1/AB+1/AD (3)

调和比的名称应该来源于此，下面证明满足关系(3)的四个点的交比为调和比。

证明：由(3)可知2*AD*AB=AC*AD+AC*AB，因为AB=AC-BC，则有AD*AC-2*AD*BC=AC^2-AC*BC,即AC*(AD-AC)=BC*(2*AD-AC)。由于CD=AD-AC,所以AC*CD-BC*CD=BC*AD，即:

AB*CD=BC*AD (4)

再由CD=BD-BC，得到(AC-BC)*(BD-BC)=BC*AD。所以AC*BD-BC*(AB+BC+BD)+BC^2=BC*AD，显然AD=AB+BD，则有：

AC*BD=2*BC*AD (5)

最终证得(A,B;C,D)=AC*BD/(BC*AD)=2，故满足调和比。事实上由(4)可知(A,C;B,D)=AB*CD/(CB*AD)=-1,命题亦得证。关系(3),(4),(5)等价。

图1 圆和椭圆中的调和点列

调和点列可以由二次曲线的极点和极线构造出来。如图1所示，左边的二次曲线为圆，右边为更一般的椭圆。A为极点，对应A的极线l交二次曲线于点E和F。因此AE和AF为二次曲线的两条切线，且E,F为切点。过点A的直线m交二次曲线于B,D两点，交极线l于C点。证明直线m上的四个点A,B,C,D为调和点列。

当二次曲线为圆时，弦切角=所夹弧度数/2=圆周角；所以△ABE∽△AED，△ABF∽△AFD；并且有AE=AF。要证明(4)式，须知AB*CD=BC*AD等价于AB/AD=BC/CD，其中左边=(AB/AE)*(AE/AD)=(BE/ED)*(AF/AD)=(BE/ED)*(BF/FD)=(BE*BF)/(ED*FD)。又因为∠EBF+∠EDF=π，所以sin∠EBF=sin∠EDF。显然三角形的面积比S_EBF/S_EDF=(BE*BF*sin∠EBF)/(ED*FD*sin∠EDF)=BC/CD，故(4)式成立。

当二次曲线为一般的椭圆时，几何关系就没那么简单了。这里用齐次坐标来计算交比，令X'=transpose(X)，即X'表示X的转置。设二次曲线方程为

X'QX=0 (6)

其中Q为实对称阵。根据极点和极线关系可知

l=QA (7)

点E,F在l上，所以l'E=l'F=0，即

A'QE=A'QF=0 (8)

又因为点E,F都在椭圆上，所以

E'QE=F'QF=0 (9)

由于A,E,F三个点不在同一条直线上，所以det(A,E,F)≠0，即三个点的齐次坐标线性无关。因此，射影平面内的所有点都可以由这三个点的线性组合表示，平面坐标有两个自由度。令B=A+u*E+v*F，则直线m=A×B=A×(u*E+v*F)。所以直线m和l的交点

C=m×l=[A×(u*E+v*F)]×(QA)=(A'QA)*(u*E+v*F)-(u*E'QA+v*F'QA)*A

上式推导用到了公式：(a×b)×c=(a'c)*b-(b'c)*a。由于E'QA是数，数的转置等于本身，所以E'QA=A'QE=0，得到

C=(A'QA)*(u*E+v*F)=u*E+v*F (10)

将点B代入椭圆方程(6)式得到

(A'+u*E'+v*F')Q(A+u*E+v*F)

=A'QA+u*A'QE+v*A'QF+u*E'QA+u^2*E'QE+u*v*E'QF+v*F'QA+u*v*F'QE+v^2*F'QF

将(8)和(9)代入上式简化后得到A'QA+2*u*v*E'QF=0，其中A'QA和E'QF是两个已知数，因此得到二次曲线上点坐标的约束条件

u*v=-(A'QA)/(2*E'QF) (11)

因此按照B=A+u*E+v*F的形式进行参数化得到的椭圆点满足(11)式，即系数u和v的积为定值。令点D=A+s*C=A+s*u*E+s*v*F，所以s^2*u*v=u*v,即s^2=1，得到s=1或-1。若s=1，则B点和D点重合；这时B,C,D一起重合到E或F点，A,B,C,D退化为两个点。若s=-1，则D=A-u*E-v*F。以A和B为参考点，对共线四点进行参数化得到