快速排序分为这么几步: 第一步,先做一次partition; partition使用第一个元素t=arr[low]为哨兵,把数组分成了两个半区:
第二步,左半区递归; 第三步,右半区递归;
伪代码为: void quick_sort(int[]arr, int low, int high){ if(low== high) return; int i = partition(arr, low, high); quick_sort(arr, low, i-1); quick_sort(arr, i+1, high); } 为啥,快速排序,时间复杂度是O(n*lg(n))呢? 今天和大家聊聊时间复杂度。 画外音:往下看,第三类方法很牛逼。 第一大类,简单规则 为方便记忆,先总结几条简单规则,热热身。
规则一:“有限次操作”的时间复杂度往往是O(1)。 例子:交换两个数a和b的值。 void swap(int& a, int& b){ int t=a; a=b; b=t; }
分析:通过了一个中间变量t,进行了3次操作,交换了a和b的值,swap的时间复杂度是O(1)。 画外音:这里的有限次操作,是指不随数据量的增加,操作次数增加。
规则二:“for循环”的时间复杂度往往是O(n)。 例子:n个数中找到最大值。 int max(int[] arr, int n){ int temp = -MAX; for(int i=0;i<> if(arr[i]>temp) temp=arr[i]; return temp; }
分析:通过一个for循环,将数据集遍历,每次遍历,都只执行“有限次操作”,计算的总次数,和输入数据量n呈线性关系。
规则三:“树的高度”的时间复杂度往往是O(lg(n))。 分析:树的总节点个数是n,则树的高度是lg(n)。
在一棵包含n个元素二分查找树上进行二分查找,其时间复杂度是O(lg(n))。 对一个包含n个元素的堆顶元素弹出后,调整成一个新的堆,其时间复杂度也是O(lg(n))。
第二大类:组合规则 通过简单规则的时间复杂度,来求解组合规则的时间复杂度。
例如:n个数冒泡排序。 void bubble_sort(int[] arr, int n){ for(int i=0;i<> for(int j=0;j<> if(arr[j]>arr[j+1]) swap(arr[j], arr[j+1]); }
分析:冒泡排序,可以看成三个规则的组合: 1. 外层for循环 2. 内层for循环 3. 最内层的swap
故,冒泡排序的时间复杂度为: O(n) * O(n) * O(1) = O(n^2)
又例如:TopK问题,通过建立k元素的堆,来从n个数中求解最大的k个数。 先用前k个元素生成一个小顶堆,这个小顶堆用于存储,当前最大的k个元素。
接着,从第k+1个元素开始扫描,和堆顶(堆中最小的元素)比较,如果被扫描的元素大于堆顶,则替换堆顶的元素,并调整堆,以保证堆内的k个元素,总是当前最大的k个元素。
直到,扫描完所有n-k个元素,最终堆中的k个元素,就是为所求的TopK。
伪代码: heap[k] = make_heap(arr[1, k]); for(i=k+1 to n){ adjust_heap(heep[k],arr[i]); } return heap[k];
分析:可以看成三个规则的组合: 1. 新建堆 2. for循环 3. 调整堆
故,用堆求解TopK,时间复杂度为: O(k) + O(n) * O(lg(k)) = O(n*lg(k)) 画外音:注意哪些地方用加,哪些地方用乘;哪些地方是n,哪些地方是k。
第三大类,递归求解 简单规则和组合规则可以用来求解非递归的算法的时间复杂度。对于递归的算法,该怎么分析呢?
接下来,通过几个案例,来说明如何通分析递归式,来分析递归算法的时间复杂度。
案例一:计算 1到n的和,时间复杂度分析。
如果用非递归的算法: int sum(int n){ int result=0; for(int i=0;i<> result += i; return result; } 根据简单规则,for循环,sum的时间复杂度是O(n)。
但如果是递归算法,就没有这么直观了: int sum(int n){ if (n==1) return 1; return n+sum(n-1); }
如何来进行时间复杂度分析呢?
用f(n)来表示数据量为n时,算法的计算次数,很容易知道:
画外音:if (n==1) return 1; 即: f(1)=1【式子A】
不难发现,当n不等于1时:
画外音:return n+sum(n-1); 即: f(n)=f(n-1)+1【式子B】
【式子B】不断的展开,再配合【式子A】: 画外音:这一句话,是分析这个算法的关键。 f(n)=f(n-1)+1 f(n-1)=f(n-2)+1 … f(2)=f(1)+1 f(1)=1
上面共n个等式,左侧和右侧分别相加: f(n)+f(n-1)+…+f(2)+f(1) = [f(n-1)+1]+[f(n-2)+1]+…+[f(1)+1]+[1]
即得到: f(n)=n 已经有那么点意思了哈,再来个复杂点的算法。 案例二:二分查找binary_search,时间复杂度分析。 int BS(int[] arr, int low, int high, int target){ if (low>high) return -1; mid = (low+high)/2; if (arr[mid]== target) return mid; if (arr[mid]> target) return BS(arr, low, mid-1, target); else return BS(arr, mid+1, high, target); }
二分查找,单纯从递归算法来分析,怎能知道其时间复杂度是O(lg(n))呢?
仍用f(n)来表示数据量为n时,算法的计算次数,很容易知道:
画外音:不用纠结是1次还是1.5次,还是2.7次,是一个常数次。 即: f(1)=1【式子A】
在n很大时,二分会进行一次比较,然后进行左侧或者右侧的递归,以减少一半的数据量:
画外音:计算arr[mid]>target,再减少一半数据量迭代 即: f(n)=f(n/2)+1【式子B】 【式子B】不断的展开, f(n)=f(n/2)+1 f(n/2)=f(n/4)+1 f(n/4)=f(n/8)+1 … f(n/2^(m-1))=f(n/2^m)+1
上面共m个等式,左侧和右侧分别相加: f(n)+f(n/2)+…+f(n/2^(m-1)) = [f(n/2)+1]+[f(n/4)+1]+…+[f(n/2^m)]+[1] 即得到: f(n)=f(n/2^m)+m
再配合【式子A】: f(1)=1 即,n/2^m=1时, f(n/2^m)=1, 此时m=lg(n), 这一步,这是分析这个算法的关键。
将m=lg(n)带入,得到: f(n)=1+lg(n)
神奇不神奇?
最后,大boss,快速排序递归算法,时间复杂度的分析过程。
案例三:快速排序quick_sort,时间复杂度分析。 void quick_sort(int[]arr, int low, inthigh){ if (low==high) return; int i = partition(arr, low, high); quick_sort(arr, low, i-1); quick_sort(arr, i+1, high); }
仍用f(n)来表示数据量为n时,算法的计算次数,很容易知道:
f(1)=1【式子A】
在n很大时: 第一步,先做一次partition; 第二步,左半区递归; 第三步,右半区递归; 即: f(n)=n+f(n/2)+f(n/2)=n+2*f(n/2)【式子B】 画外音: (1)partition本质是一个for,计算次数是n; (2)二分查找只需要递归一个半区,而快速排序左半区和右半区都要递归,这一点在分治法与减治法一章节已经详细讲述过;
【式子B】不断的展开, f(n)=n+2*f(n/2) f(n/2)=n/2+2*f(n/4) f(n/4)=n/4+2*f(n/8) … f(n/2^(m-1))=n/2^(m-1)+2f(n/2^m)
上面共m个等式,逐步带入,于是得到: f(n)=n+2*f(n/2) =n+2*[n/2+2*f(n/4)]=2n+4*f(n/4) =2n+4*[n/4+2*f(n/8)]=3n+8f(n/8) =… =m*n+2^m*f(n/2^m)
再配合【式子A】: f(1)=1 即,n/2^m=1时, f(n/2^m)=1, 此时m=lg(n), 这一步,这是分析这个算法的关键。 将m=lg(n)带入,得到: f(n)=lg(n)*n+2^(lg(n))*f(1)=n*lg(n)+n
故,快速排序的时间复杂度是n*lg(n)。 wacalei,有点意思哈! 画外音:额,估计83%的同学没有细究看,花5分钟细思上述过程,一定有收获。
总结
知其然,知其所以然。 思路比结论重要。 架构师之路-分享可落地的技术文章 |
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