动量定理

定义

如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。

F指合外力，如果为变力，可以使用平均值；

=既表示数值一致，又表示方向一致；

矢量求和，可以使用正交分解法；

只适用于惯性参考系，若对于非惯性参考系，必须加上惯性力的冲量。且v_1，v₂必须相对于同一惯性系。^[1]

适用条件

（1）系统不受外力或系统所受的外力的合力为零。

（2）系统所受外力的合力虽不为零，但比系统内力小得多。

（3）系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统的总动量保持不变 ——分动量守恒。

注意：(1) 区分内力和外力 　碰撞时两个物体之间一定有相互作用力，由于这两个物体是属于同一个系 统的，它们之间的力叫做内力；系统以外的物体施加的，叫做外力。

(2) 在总动量一定的情况下，每个物体的动量可以发生很大变化 　例如：静止的两辆小车用细线相 连，中间有一个压缩的弹簧。烧断细线后，由于弹力的作用，两辆小车分别向左右运动，它们都 获得了动量，但动量的矢量和为零。

常见表达式

(1)p=p′ ，即系统相互作用开始时的总动量等于相互作用结束时(或某一中间状态时)的总动量；

(2)Δp=0 ，即系统的总动量的变化为零.若所研究的系统由两个物体组成，则可表述为： m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂v₂′ (等式两边均为矢量和)；

(3)Δp₁=－Δp₂ . 即若系统由两个物体组成，则两个物体的动量变化大小相等，方向相反，此处要注意动 量变化的矢量性.在两物体相互作用的过程中，也可能两物体的动量都增大，也可能都减小，但其矢量和 不变。

推导过程

推导

将F = ma （动力学方程牛顿第二运动定律）——

代入v = v₀ + at （运动学方程）

得

化简得mv- mv₀ = Ft

把mv做为描述运动状态的量，叫动量。

含义

（1）内容：物体所受合力的冲量等于物体的动量变化。

表达式：Ft=mv′－mv=p′－p ，或Ft=△p 由此看出冲量是力在时间上的积累效应。

动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。它可以是恒力，也可以是变力。当合外力为变力时，F是合外力对作用时间的平均值。p为物体初动量，p′为物体末动量，t为合外力的作用时间。

（2）FΔt=mΔv 是矢量式。在应用动量定理时，应该遵循矢量运算的平行四边表法则，也可以采用正交分解法，把矢量运算转化为标量运算。假设用Fx（或Fy）表示合外力在x（或y）轴上的分量。（或）和v_x （或v_y ）表示物体的初速度和末速度在x（或y）轴上的分量，则

I_x=mv_x－mv_x0

I_y=mv_y－mv_y0

上述两式表明，合外力的冲量在某一坐标轴上的分量等于物体动量的增量在同一坐标轴上的分量。在写动量定理的分量方程式时，对于已知量，凡是与坐标轴正方向同向者取正值，凡是与坐标轴正方向反向者取负值；对于未知量，一般先假设为正方向，若计算结果为正值。说明 实际方向与坐标轴正方向一致，若计算结果为负值，说明实际方向与坐标轴正方向相反。^[2]

推广形式

可以推广为质点系的动量定理，即系统内动量的增量和等于合外力的冲量。

含义区别

动量定理

反映了力对时间的累积效应(冲量)，其增量是力在时间上的积累。

动能定理

反映了力对空间的累积效应(功)，其增量是力在空间上的积累。

动量守恒定律

m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁'+m₂v₂'

应用

1.推广出弹性碰撞速度表达式

对于弹性一维碰撞，我们有：

动能守恒

动量守恒m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁'+m₂v₂'

可以解得：

，

2.普遍适用于物理学各个与运动相关的领域，是物体运动的基本规律。

微分形式的动量定理

微分形式的动量定理 若质点系的总质量为M，质心速度为

，

则它的总动量为

。

上式二边对时间求导数，并利用质心运动定理得：

，（1），

式中

为作用在质点系上所有外力的矢量和。式（1）就是用微分形式表示的动量定理，它表明:质点系的总动量对时间的变化率等于质点系所受外力的矢量和。可以看出，质点系总动量的变化仅与外力有关，并不受质点系中各质点相互作用的内力的影响。

积分形式的动量定理

积分形式的动量定理积分式（1），并用p₁，和p₂，分别表示质点系在时间t₁和t₂的总动量，则有：

，（2），

式中

为时间间隔t₂－t₁内作用于第i个质点上的外力的冲量。上式是用积分形式表示的动量定理，它表明:在某力学过程的时间间隔内，质点系总动量的改变，等于在同一时间间隔内作用于质点系所有外力的冲量的矢量和。

由于动量定理和质心运动定理是可以相互推导的，所以这两定理在本质上是一致的。在研究刚体或刚体系统的运动时，由于质心坐标容易确定，用质心运动定理比较方便;但在研究流体运动时，由于质心的坐标难以确定，用动量定理比较适宜。质点是质点系的一个特殊情况，故动量定浬也适用于一个质点。

参考文献

1、词条作者：戴宗信．《中国大百科全书》74卷（第一版）力学 词条：动量定理：中国大百科全书出版社，1987 ：118页．