人教版2018年八年级数学上册等边三角形性质与判定同步培优卷
一、选择题：
1、下列语句中，正确的是（）
A.等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线
B.等腰三角形的对称轴是底边上的高
C.一条线段可看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D.等腰三角形的对称轴就是顶角平分线
2、在下列结论中：
（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的个数是(????)
A.4个?B.3个?C.2个?D.1个
3、.如图，OC平分∠AOB，且∠AOB=60°，点P为OC上任意点，PM⊥OA于M，PD∥OA，交OB于D，若OM=3，则PD的长为（）
A.2??????B.1.5???C.3??????D.2.5
4、已知等腰三角形两边a，b，满足|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为(????)
A.7或8??????B.6或10????C.6或7??????D.7或10
5、如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（?????????）
A.2个???????B.3个??????C.4个??????D.5个
6、如图，在等边三角形ABC中，中线AD、BE交于F，则图中共有等腰三角形共有(????)
A.3个?B.4个??C.5个?D.6个
7、如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE.
下面给出的四个结论，其中正确的个数是(????)
①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°.
A.1个?B.2个?C.3个?D.4个
8、.如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的关系是（）
A.∠1=2∠2B.∠1+∠2=90°C.180°﹣∠1=3∠2?D.180°+∠2=3∠1
9、如图所示，两个全等的等边三角形的边长1m，一个微型机器人由A点开始按A﹣B﹣C﹣D﹣B﹣E﹣A的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2014m停下，则这个微型机器人停在（）
A.点A处????B.点B处????C.点C处????D.点E处
10、如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A7B7A8的边长为(????)
A.6???B.12??C.32??D.64
11、如图所示，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连结A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连结A2B2…按此规律下去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，则θ2016﹣θ2015的值为（）
A.????B.??C.????D.
12、如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形.
下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD.
其中正确的有（???）
A.3个????B.4个???C.5个???D.6个
二、填空题:
13、等腰三角形的一个角为100°，则它的两底角为.
14、已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1：2，则这个等腰三角形的顶角为.
15、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是???????.
16、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=BD，∠BAD=70°，∠DAC=???°.
17、如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE=.
18、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，在直线BC上找一点P，使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC的长度为?????.
三、解答题:
19、如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD.求证：BD=DE.
20、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，DC=AC，并求∠B的度数.
21、如图，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC.
①求证：△ADE为等腰三角形.②若∠B=60°，求证：△ADE为等边三角形.
22、感知：
如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF.（不要求证明）
拓展：
如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF.
应用：
如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为.
23、如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=10cm，BC=8cm，D为AB的中点，点P在线段上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动.当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间.
24、如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，点P是边BC上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F.
（1）求证：PE+PF=BD.
（2）当点P在直线BC上，上述结论还成立吗？如果成立，直接写出结论；如果不成立，请说明理由.
参考答案
1、C.
2、D
3、A
4、A
5、D.
6、D.
7、D.
8、D.
9、B.
10、D.
11、D.
12、D
13、答案为：40°、40°.
14、答案为：36°或90°.
15、答案为：110°或70°.
16、答案为：30°?????
17、答案为：60°.
18、答案为：1或3或7
19、证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°.
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）.又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED.
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°.∴∠DBC=∠DEC.
∴DB=DE（等角对等边）.
20、因为△ABC、△DAB、△DAC?都是等腰三角形。
∴可得出以下结论：∠B=∠C、∠B=∠DAB、∠CAD=∠CDA
∵∠CDA=∠B＋∠DAB?而∠B=∠DAB∴∠CAD=∠CDA=2∠B
∵∠BAC＋∠B＋∠C=180°即：∠DAB＋∠CAD＋∠B＋∠C=180°
即：∠B＋2∠B＋∠B＋∠B=180°∴∠B=36°
21、①证明：∵∠B=∠C，BD=CE，AB=DC.∴△ABD≌DCE，∴AB=DC，∴△ADE为等腰三角形.
②∵△ABD≌△DCE，∴∠BAD=∠CDE.
∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B＋∠BAD，
∵∠ADC=∠ADE＋∠EDC,又∵∠BAD=∠CDE.
∴∠ADE=∠B=60°，∴等腰三角形.△ADE为等边三角形.
22、拓展：证明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，
∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，
∴，∴△ABE≌△CAF（AAS）.
应用：
解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，
∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，∴△ABD与△ADC面积比为：1：2，
∵△ABC的面积为9，∴△ABD与△ADC面积分别为：3，6；
∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，
∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，
∴△ABE≌△CAF（AAS），∴△ABE与△CAF面积相等，
∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，∴△ABE与△CDF的面积之和为6，
故答案为：6.
23、解：
∵D为AB的中点，AB=10cm，∴BD=AD=5cm.设点P运动的时间是xs，
若BD与CQ是对应边，则BD=CQ，∴5=3x，解得x=，此时BP=3×=5(cm)，CP=8－5=3(cm)，
BP≠CP，故舍去；若BD与CP是对应边，则BD=CP，∴5=8－3x，解得x=1，符合题意.
综上，点P运动的时间是1s
24、（1）证明：如图1，过P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，∴PG∥DF，GD∥PF，∴四边形PGDF是平行四边形，
又∵∠GDF=90°，∴四边形PGDF是矩形，∴PF=GD，
∵四边形PGDF是矩形，∴PG∥DF，即PG∥AC，∴∠BPG=∠C，
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠BPG=∠ABC，
在△BPE与△PBG中，∴△BPE≌△PBG（AAS）
∴PE=BG，∴PE+PF=BG+GD即PE+PF=BD；
（2）如图2，当点P在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有PE﹣PF=BD，
理由：连接AP，则S△ABP=S△ABC+S△ACP，即AB?PE=AC?BD+AC?PF
∵AB=AC，∴PE=BD+PF，即PE﹣PF=BD.
同理如图3，当D点在CB的延长线上时，则有DF﹣DE=BD，
理由：连接AP，则S△ABP=S△ABC+S△ABP，即AC?PF=AC?BD+AB?PE，
∵AB=AC，∴PF=BD+PE，即PF﹣PE=BD.
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