【方法规律】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．变式训练2．(2
017·济南模拟)已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求
此时f(x)在[－2，1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．【解析】(1)函数f(x)的定义
域为R，f′(x)＝ex＋a，f′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1，∴f′(x)＝ex－1.∵在区间(－∞，0)上，f′(x)
＜0，f(x)单调递减；在区间(0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴在x＝0处，f(x)取得极小值，∴a＝－1.
∴当a＞0时，函数f(x)存在零点，不满足题意．②当a＜0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，解得x＝ln(－a)．在区间(－
∞，ln(－a))上，f′(x)＜0，f(x)单调递减；在区间(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴当x
＝ln(－a)时，f(x)取得最小值．函数f(x)不存在零点等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋a·ln(－a)－a＝－2
a＋aln(－a)＞0，解得－e2＜a＜0.综上所述，实数a的取值范围是(－e2，0)．热点三利用导数解决不等式问题利
用导数解决不等式问题是近几年高考热点，常涉及不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题．(1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、
以e为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间A上恒成立(存在性)，求参数取值范围．(2)证明不等式一般是证明与
函数有关的不等式在某个范围内成立．(3)大小比较问题，一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角
式结构，可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题．角度一不等式的恒成立问题【例3】(2017·西安八校联考)已知函数f(
x)＝m(x－1)ex＋x2(m∈R)．(1)若m＝－1，求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意的x＜0，不等式x2＋(m＋
2)x＞f′(x)恒成立，求m的取值范围．【解析】(1)当m＝－1时，f(x)＝(1－x)ex＋x2，则f′(x)＝x(2
－ex)，由f′(x)＞0得，0＜x＜ln2，由f′(x)＜0得x＜0或x＞ln2，故函数f(x)的单调递增区间为(0，
ln2)，单调递减区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞)．【方法规律】求解不等式恒成立时参数的取值范围问题，一般常用分离参
数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解．第三章导
数及其应用高考总复习·数学理科（RJ）第三章导数及其应用高考总复习·数学理科（RJ）第三章导数及其应用
高考总复习·数学理科（RJ）第三章导数及其应用高考总复习·数学理科（RJ）第三章导数及其应用高考总复
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）第三章导数及其应用高考总复习·数学理科（RJ）第三章导数及其应用高考总复习·数学理科（RJ）§3.
4热点专题——导数综合应用的热点问题热点一利用导数研究函数性质的综合问题利用导数研究函数的单调性、极值和最值均是高考命题
的重点内容，在选择题、填空题和解答题中都有涉及．主要有以下两种考查形式：(1)研究具体函数的单调性、极值或最值，常涉及分类讨论
思想．(2)由函数的单调性、极值或最值，求解参数的值或取值范围．【例1】(2017·成都模拟)已知关于x的函数f(x)＝ln
x＋a(x－1)2(a∈R)．(1)求函数f(x)在点P(1，0)处的切线方程；(2)若函数f(x)有极小值，试求a的取值范
围；(3)若在区间[1，＋∞)上，函数f(x)不出现在直线y＝x－1的上方，试求a的最大值．【方法规律】函数性质综合问题的
难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论．(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上
讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置进行讨论．(2)极值讨论策略：极值的讨论以单
调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的
极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值．故函数f(x)的单调递增区
间是(0，1)和(a－1，＋∞)，单调递减区间是(1，a－1)．③当0＜a－1＜1，即1＜a＜2时，在区间(0，a－1)和(1
，＋∞)上，f′(x)＞0；在区间(a－1，1)上，f′(x)＜0，故函数f(x)的单调递增区间是(0，a－1)和(1，＋∞)，单
调递减区间是(a－1，1)．④当a－1≤0，即a≤1时，在区间(0，1)上，f′(x)＜0，在区间(1，＋∞)上，f′(x)＞0
，故函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0，1)．热点二利用导数研究方程的根或函数的零点问题此类试题
一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热点，一般有两种考查
形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题．(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题
．令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝(axlna＋bxlnb)′＝ax(lna)2＋bx(lnb)2，从而对任意
x∈R，h′(x)＞0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x∈(－∞，x0)时，g′(x)＜g′(x
0)＝0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞g′(x0)＝0.因而函数g(x)在(－∞，x0)上是单调减函数，在(x0，＋∞)
上是单调增函数．下证x0＝0.第三章导数及其应用高考总复习·数学理科（RJ）第三章导数及其应用高考总
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