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中考数学:类比探究 旋转放缩(方法总结 讲练结合)(1)

2018-10-13  学思践悟...

中考数学:类比探究+旋转放缩(方法总结 讲练结合)(1)

类比探究型习题的解题策略:类比字母——类比辅助线——类比思路. 此类问题由特殊到一般、由简单到复杂逐步深入,解题的思路具有一脉相承的特点.

旋转放缩,也可以叫旋转相似,是在旋转全等的基础上进一步的变化. 旋转全等的前提是“等线段共端点”,旋转前后的图形大小、形状不发生变化,只是位置不同而已,解题时候通过“三角形全等”解决问题;但是旋转放缩,却是除了形状不变外,大小、位置都发生了变化,解题时候常常通过“三角形相似”解决问题.

中考数学:类比探究+旋转放缩(方法总结 讲练结合)(1)

上图中,把△OMN绕点O逆时针旋转一定的角度得到△OPQ,这种情况就是旋转全等;分别取OM的中点P、ON的中点Q,连接PQ,把△OPQ绕点O旋转一定角度,如下图,此时,△OPQ∽△OMN,相似比为1/2,这种情况就是旋转放缩或者叫旋转相似.

中考数学:类比探究+旋转放缩(方法总结 讲练结合)(1)

以上是基本的模型,而实战中的这类题型是千变万化的,出题人会在基本模型的基础上进一步演变,设法增加难度,以进一步对学生进行考查.

举两个例子,在上图的基础上若分别连接MP和NQ,如下图所示,那么将会出现新的相似:△OMP∽△ONQ. 为什么?你能说出理由吗?(考虑用“两边对应成比例夹角相等”的方法证明)

中考数学:类比探究+旋转放缩(方法总结 讲练结合)(1)

继续变化,如下图所示,分别取OP、OQ的中点F和E,连接MF和NE,那么情况再次发生变化,新的一对三角形△OMF和△ONE相似吗?为什么?

答案是肯定的,证明过程如下:

△OMN∽△OPQ→OM:ON=OP:OQ→OM:ON=1/2OP:1/2OQ→OM:ON=OF:OE 又∵ ∠MON=∠POQ ∴ ∠MOF=∠NOE ∴△OMF∽△ONE.

中考数学:类比探究+旋转放缩(方法总结 讲练结合)(1)

若把这样的变式再放到一个背景复杂的图形下,加上各种信息的干扰,会使解题的难度大大增加,下面剖析一道今年的中考题:

【2018河南中考22题】(10分)(1)问题发现

中考数学:类比探究+旋转放缩(方法总结 讲练结合)(1)

如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:

①AC:BD的值为_____________;

②∠AMB的度数为_____________.

(2)类比探究

如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断AC:BD的值及∠AMB的度数,并说明理由.

(3)拓展延伸

在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=√7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

分析:(1)猜测AC和BD的长度相等,由此联想要证有关三角形全等即可;而求解∠AMB的度数,可以考虑找“对顶三角形”,通过对应角关系说明.

(2)类比上一问求解,只不过由三角形全等变成了相似,思路类同.

(3)难度较大,需要分情况讨论说明,关键是怎样确定重合点的位置,需要题中给出的信息再借助作图工具,综合分析得出.

解答过程:

(1)① ∵ ∠AOB=∠COD ∴ ∠BOD=∠AOC 又∵ OC=OD OA=OB ∴ △AOC≌△BOD ∴ AC=BD ∠OBD=∠OAC ∴AC:BD=1.

② 设BD、OA交于点N,∵ ∠MNA=∠ONB ∴ ∠AMB=∠AOB=40°.

(2)AC:BD=√3,∠AMB=90°. 理由如下:

∵ ∠AOB=∠COD=90°, ∠OAB=∠OCD=30° ∴ CO:DO=AO:BO=√3 , ∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD , 即∠AOC=∠BOD ∴ △AOC∽△BOD ∴ AC:BD=CO:DO=√3, ∠CAO=∠DBO . 设AO、BM交于点N,∵ ∠ANM=∠BNO ∴ ∠AMB=∠AOB=90°.

(3)由(2)可知,∠AMB=90° , AC:BD=√3,设BD=x,则AC=√3x .

分两种情况讨论:

①如下图3,当点M、C在△OAB左侧重合时,在Rt△ABC中,利用勾股定理可得 X1=2 , X2=-3(不合题意舍去),∴ AC=√3x =2√3.

②如下图4,当点M、C在△OAB右侧重合时,在Rt△ABC中,利用勾股定理可得 X1=3 ,X2=-2(不合题意舍去), ∴ AC=√3x =3√3.

综上所述,AC的长为2√3或3√3.

中考数学:类比探究+旋转放缩(方法总结 讲练结合)(1)

【总结反思】

1、第(1)问,可以认为 △AOC和△BOD是绕点O互相旋转得到,相当于旋转全等,第(2)问,可以认为△AOC和△BOD是旋转放缩(或者旋转相似) 得到;

2、一个证明技巧要掌握——“对顶三角形”的用法,如前两问中求解 ∠AMB的度数,就可以利用一组对顶三角形 △MNA和△ONB 推出结论;

3、这是一道类比探究类题型,这种题型的特点是:问题由易到难,层层深入,“类比字母,类比辅助线,类比思路”,由上一问的解决方法来类比解决下一问,如果不能解决,就把两问结合起来分析,找出不能类比的原因和不变特征,围绕不变特征进行新的探索;

4、注意题中一些不起眼的信息所蕴含的巨大作用,如在第(3)拓展延伸中,第一句话就交代:“在(2)的条件下”,这就意味着(2)中所有的条件和结论仍然成立,我们根据解题的需要,可以充分利用上一问的所有条件和结论;

5、解答第(3)拓展延伸,一个难点就是怎样确定重合点的位置,因为有了位置就可以作出图像,然后利用勾股定理等知识解决,所以确定重合点的位置是解题的关键. 这个问题可以用辅助圆来解决,其实题中给出的信息就隐含着两个辅助圆,它们的交点就可以确定重合点的位置. 这两个辅助圆分别是:① 因为“将△OCD绕点O在平面内旋转”,所以可以认为点C的轨迹就是“以O为圆心OC为半径的圆”; ②因为 ∠AMB总保持90°不变,所以点M的轨迹就是“以AB为直径的圆”. 上面两个圆的交点就是重合点的位置,如下图所示:

中考数学:类比探究+旋转放缩(方法总结 讲练结合)(1)

善于利用辅助圆能给几何解题的求解带来很大帮助,关于辅助圆的构造问题,有兴趣的可以翻看以前的文章《两道好题——体会辅助圆的魅力》,里面有详细阐述.

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