中考数学：类比探究 旋转放缩（方法总结 讲练结合）（1）

类比探究型习题的解题策略：类比字母——类比辅助线——类比思路. 此类问题由特殊到一般、由简单到复杂逐步深入，解题的思路具有一脉相承的特点.

旋转放缩，也可以叫旋转相似，是在旋转全等的基础上进一步的变化. 旋转全等的前提是“等线段共端点”，旋转前后的图形大小、形状不发生变化，只是位置不同而已，解题时候通过“三角形全等”解决问题；但是旋转放缩，却是除了形状不变外，大小、位置都发生了变化，解题时候常常通过“三角形相似”解决问题.

上图中，把△OMN绕点O逆时针旋转一定的角度得到△OPQ，这种情况就是旋转全等；分别取OM的中点P、ON的中点Q，连接PQ，把△OPQ绕点O旋转一定角度，如下图，此时，△OPQ∽△OMN，相似比为1/2，这种情况就是旋转放缩或者叫旋转相似.

以上是基本的模型，而实战中的这类题型是千变万化的，出题人会在基本模型的基础上进一步演变，设法增加难度，以进一步对学生进行考查.

举两个例子，在上图的基础上若分别连接MP和NQ，如下图所示，那么将会出现新的相似：△OMP∽△ONQ. 为什么？你能说出理由吗？（考虑用“两边对应成比例夹角相等”的方法证明）

继续变化，如下图所示，分别取OP、OQ的中点F和E，连接MF和NE，那么情况再次发生变化，新的一对三角形△OMF和△ONE相似吗？为什么？

答案是肯定的，证明过程如下：

△OMN∽△OPQ→OM：ON=OP：OQ→OM：ON=1/2OP：1/2OQ→OM：ON=OF：OE 又∵ ∠MON=∠POQ ∴ ∠MOF=∠NOE ∴△OMF∽△ONE.

若把这样的变式再放到一个背景复杂的图形下，加上各种信息的干扰，会使解题的难度大大增加，下面剖析一道今年的中考题：

【2018河南中考22题】（10分）（1）问题发现

如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：

①AC：BD的值为_____________；

②∠AMB的度数为_____________．

（2）类比探究

如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断AC：BD的值及∠AMB的度数，并说明理由．

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD=1，OB=√7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

分析：（1）猜测AC和BD的长度相等，由此联想要证有关三角形全等即可；而求解∠AMB的度数，可以考虑找“对顶三角形”，通过对应角关系说明.

（2）类比上一问求解，只不过由三角形全等变成了相似，思路类同.

（3）难度较大，需要分情况讨论说明，关键是怎样确定重合点的位置，需要题中给出的信息再借助作图工具，综合分析得出.

解答过程：

（1）① ∵ ∠AOB=∠COD ∴ ∠BOD=∠AOC 又∵ OC=OD OA=OB ∴ △AOC≌△BOD ∴ AC=BD ∠OBD=∠OAC ∴AC：BD=1.

② 设BD、OA交于点N，∵ ∠MNA=∠ONB ∴ ∠AMB=∠AOB=40°.

（2）AC：BD=√3，∠AMB=90°. 理由如下：

∵ ∠AOB=∠COD=90°， ∠OAB=∠OCD=30° ∴ CO：DO=AO：BO=√3 ， ∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD ， 即∠AOC=∠BOD ∴ △AOC∽△BOD ∴ AC：BD=CO：DO=√3， ∠CAO=∠DBO . 设AO、BM交于点N，∵ ∠ANM=∠BNO ∴ ∠AMB=∠AOB=90°.

（3）由（2）可知，∠AMB=90° ， AC：BD=√3，设BD=x，则AC=√3x .

分两种情况讨论：

①如下图3，当点M、C在△OAB左侧重合时，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得 X1=2 ， X2=-3（不合题意舍去），∴ AC=√3x =2√3.

②如下图4，当点M、C在△OAB右侧重合时，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得 X1=3 ，X2=-2（不合题意舍去）， ∴ AC=√3x =3√3.

综上所述，AC的长为2√3或3√3.

【总结反思】

1、第（1）问，可以认为 △AOC和△BOD是绕点O互相旋转得到，相当于旋转全等，第（2）问，可以认为△AOC和△BOD是旋转放缩（或者旋转相似） 得到；

2、一个证明技巧要掌握——“对顶三角形”的用法，如前两问中求解 ∠AMB的度数，就可以利用一组对顶三角形 △MNA和△ONB 推出结论；

3、这是一道类比探究类题型，这种题型的特点是：问题由易到难，层层深入，“类比字母，类比辅助线，类比思路”，由上一问的解决方法来类比解决下一问，如果不能解决，就把两问结合起来分析，找出不能类比的原因和不变特征，围绕不变特征进行新的探索；

4、注意题中一些不起眼的信息所蕴含的巨大作用，如在第（3）拓展延伸中，第一句话就交代：“在（2）的条件下”，这就意味着（2）中所有的条件和结论仍然成立，我们根据解题的需要，可以充分利用上一问的所有条件和结论；

5、解答第（3）拓展延伸，一个难点就是怎样确定重合点的位置，因为有了位置就可以作出图像，然后利用勾股定理等知识解决，所以确定重合点的位置是解题的关键. 这个问题可以用辅助圆来解决，其实题中给出的信息就隐含着两个辅助圆，它们的交点就可以确定重合点的位置. 这两个辅助圆分别是：① 因为“将△OCD绕点O在平面内旋转”，所以可以认为点C的轨迹就是“以O为圆心OC为半径的圆”； ②因为 ∠AMB总保持90°不变，所以点M的轨迹就是“以AB为直径的圆”. 上面两个圆的交点就是重合点的位置，如下图所示：

善于利用辅助圆能给几何解题的求解带来很大帮助，关于辅助圆的构造问题，有兴趣的可以翻看以前的文章《两道好题——体会辅助圆的魅力》，里面有详细阐述.