巧用圆周角来判断动圆过某定点

在中考压轴题中，有一类问题往往十分令学生头疼，便是过定点的圆，尤其是这个圆还与二次函数有关，将初中阶段难度最高的两个知识点融合起来，无疑是设置了一道较难突破的关卡。我们在中考复习中曾经就抛物线过定点、直线过定点等问题进行了探究，今天我们来探究圆过定点的例子。

题目

已知抛物线y=x²+mx-2m-4(m>0).

(1)证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，且A，B，C三点都在圆P上.

①试判断：不论m取任何正数，圆P是否经过y轴上某个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；

②若点C关于直线x=-m/2的对称点为点E，点D(0,1)，连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，圆P的半径记为r，求l/r的值.

解析

(1)显然是需要求出判别式△=m²-4(-2m-4)=m²+8m+16=(m+4)²>0，因此抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)作图是关键！特别强调，由于原题没有给出参考图形，所以对学生的基本作图是一次考验，在作图之前，需要进行以下准备工作，求出A，B点坐标，将解析式分解因式得y=(x-2)(x+m+2)，于是我们可以得到A(2,0)，B(-m-2,0)，根据题目中的m>0，很容易判断哪个点是A点，还得到C(0,-2m-4)，A，B，C三点都在圆上，先作出这个圆P，如图所示：

①我们将圆P与y轴的交点标为点D，如果它经过某个定点，也只能是点D，因此只要求出点D坐标是定值即可，这是思考方向。

突破口来自于点B和点C的坐标，细心的同学应该能发现，它们的坐标中，-m-2与-2m-4正好成倍数关系，回到图中，我们可以发现线段OB=m+2，而线段OC=2m+4，即OC=2OB，在Rt△BOC中，tan∠BCO=0.5，意味着∠BCO大小不变，同时这个角在圆中属于圆周角，马上观察它所对的弧，为弧BD，然后转向另一个方向看它所对的另一个圆周角∠OAD，原来∠BCO=∠OAD，于是tan∠OAD=0.5，在Rt△OAD中，OA=2，于是OD=1，正好说明点D是定点，如下图：

②仍然先按要求作图，点E与点C关于x=-m/2对称，而它恰恰是抛物线的对称轴，圆P经过的A，B两点也关于它对称，我们知道圆和抛物线都是轴对称图形，由此我们至少可以判断圆心P一定在对称轴x=-m/2上，观察△CDE，它是一个直角三角形，同时由于三个顶点都在圆上，所以根据“90°的圆周角所对的弦是直径”得出DE为直径，于是得到Rt△BDE，特别要注意的是，前面已经讨论过的Rt△BOC与Rt△OAD，均有一个锐角相等，并且它的正切值为0.5，这意味着这两个直角三角形是两条直角边之比为1：2，同样的情形也出现在Rt△BDE中，因为它也有一个锐角∠BED=∠BCD(同一条弧BD所对的圆周角)，所以它的两条直角边之比也为1：2，即BE=2BD，好了，让我们开始用字母表示它的周长以及圆的半径，设BD为t，则BE=2t，DE=√5t，同时DE为圆P直径，因此r=√5t/2，推导过程如下：

解题反思：

刚刚开始思考圆是否过定点的时候，的确有点懵，这很正常，但是一定要按照常规思路去走，作出这个点，然后证明它的坐标是定值，事实上本题正是按这种“套路”进行的，解决这种无配图综合题，对学生的基本作图能力要求较高，平时教学中，对于抛物线作图的练习不能一带而过，应该认真扎实地按教材要求列表描点连线，而对于圆规的使用，也应该给予充分的时间操作，不能用讲授演示代替，更不能用几何画板代替学生作图。如果说解这类几何题真有什么技巧的话，我的理解是，平时扎实认真，就是技巧。