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中考数学:以圆为背景的几何综合题的解题策略

2018-10-14  当以读书...

中考数学:以圆为背景的几何综合题的解题策略

以圆为背景,添加三角形、四边形的几何综合题是中考必考题型,一般难度不大,考题形式和解题规律总结如下:

1、圆背景的综合题,侧重圆相关特征的辨识,性质的应用,侧重三角形、四边形知识的考查,以证明、计算、开放性问题居多;

2、圆中处理问题的原则:①连半径——得等腰; ②由角看弧、由弧找角; ③有直径找直角,有直角找直径; ④有切线连半径;

3、如果要分析特殊的四边形是否存在,就应该分析不变特征及形成因素,题中已经具备什么条件,依据定义、定理、判定方法,还需要什么条件,这是解决此种问题的核心思路;

4、一定要注意规范书写与模块化书写.

【典例1】(2018河南中考19题)如下图,AB是圆O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交圆O于点C,过点C作圆O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.

中考数学:以圆为背景的几何综合题的解题策略

(1)求证:CE=EF;

(2)连接AF并延长,交圆O于点G.填空:

①当∠D的度数为_________时,四边形ECFG为菱形;

②当∠D的度数为_________时,四边形ECOG为正方形.

解析:(1)如下图,连接OC,∵CE是圆的切线,∴∠OCE=90°,∴∠1+∠2=90°,∠1==90°﹣∠2,∵OB=OC ∴∠2=∠3 ∵DO⊥AB ∴∠3+∠4=90°,又∵∠4=∠5 ∴∠3+∠5=90°∴∠5=90°﹣∠3=90°﹣∠2 ∴∠5=∠1 ∴CE=EF.

中考数学:以圆为背景的几何综合题的解题策略

(2)①由于AB是圆O的直径 因此∠ACB=90°则∠DCF=90°,要使四边形ECFG为菱形,需要CE=CF ∵CE=EF ∴∆CEF是等边三角形 ∴∠DFC=60°∴∠D=30°;

②要使四边形ECOG为正方形,需要CE=CO, ∴∠CEF=45° ∵在Rt∆DCF中,EC=EF ∴ED=EC=EF ∴∠D=22.5°.

中考数学:以圆为背景的几何综合题的解题策略

点评:此类几何综合题一般会涉及到圆、三角形、四边形,条件比较繁杂且互相干扰,所以平时的学习要养成好的分析习惯,学生可以在审题时,拿着铅笔边读题边把关键信息标注到图形上,比如读到“AB是圆O的直径”则马上知道∠ACB=90°,就可以把相关角标注成直角符号.

【典例2】如下图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作圆O分别交AC、BM于点D、E

(1)求证:MD=ME;

(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE=________;

②连接OD,OE,当∠A的度数为________________时,四边形ODME是菱形.

中考数学:以圆为背景的几何综合题的解题策略

【分析】(1)先证明∠A=∠ABM,再证明∠MDE=∠MBA,∠MED=∠A即可解决问题.

(2)①由DE∥AB,得DE:AB=MD:MA即可解决问题.

②当∠A=60°时,四边形ODME是菱形,只要证明△ODE,△DEM都是等边三角形即可.

【解答】(1)证明:∵∠ABC=90°,AM=MC,∴BM=AM=MC,∴∠A=∠ABM,

∵四边形ABED是圆内接四边形,∴∠ADE+∠ABE=180°,又∠ADE+∠MDE=180°,

∴∠MDE=∠MBA,同理证明:∠MED=∠A,∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME.

(2)① 由(1)可知,∠A=∠MDE,∴DE∥AB,∴DE:AB=MD:MA,∵AD=2DM,

∴DM:MA=1:3,∴DE=1/3·AB=1/3×6=2.故答案为2.

②当∠A=60°时,四边形ODME是菱形.

理由:如下图,连接OD、OE,∵OA=OD,∠A=60°,∴△AOD是等边三角形,∴ ∠AOD=60°,

∵DE∥AB,∴∠ODE=∠AOD=60°,∠MDE=∠MED=∠A=60°,

∴△ODE,△DEM都是等边三角形,∴OD=OE=EM=DM,∴四边形OEMD是菱形.

故答案为60°.

中考数学:以圆为背景的几何综合题的解题策略

【点评】本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,记住菱形的三种判定方法,本题属于中考常考题型.

【配套练习】

1、 如下图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交AC边于点D,过点C作CF∥AB,与过点B的切线交于点F,连接BD.

(1)求证:BD=BF;

(2)若AB=10,CD=4,求BC的长.

中考数学:以圆为背景的几何综合题的解题策略

2、如下图,CD是圆O的直径,且CD=2cm,点P为CD的延长线上一点,过点P作圆O的切线PA,PB,切点分别为点A,B.

(1)连接AC,若∠APO=30°,试证明△ACP是等腰三角形.

(2)填空:

①当DP=__________cm时,四边形AOBD是菱形;

②当DP=__________cm时,四边形AOBP是菱形.

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【答案】

1、(1)可通过证明∆BCD≌∆BCF得到结论;

(2)BC=4√5.

2、(1)连接OA,∵PA为⊙O的切线,∴OA⊥PA.

在Rt△AOP中,∠AOP=900-∠APO=900-300=600.

∴∠ACP=1/2∠AOP=1/2×600=300. ∴∠ACP=∠APO, ∴AC=AP.

∴△ACP是等腰三角形.

(2)①1; ②√2-1.

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