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2018年普通高等学校招生全国统一考试(文科数学)1卷

 老刘有话说926 2018-10-14

2018年新课标高考文科数学试卷分析

一、           题型题量分析

全卷包括第卷和第卷两部分.卷为选择题.卷为非选择题.考试时间为120分钟,总分为150.试题分选择题、填空题和解答题.其中,选择题有12个小题,每题5分,共计60分;填空题有4个小题,每题5分,共计20分;解答题有8个题,其中第17题~21题各12分,第2224题(各10分)选考一题内容分别为选修4—4(坐标系与参数方程)、4—5(不等式选讲),共计70.全部试题都要求在答题卡上作答。题型、题量同教育部考试中心近几年命制的新高考数学文科卷相同。

二、           试题考查内容

试题内容与考试要求都与2018年新课程高考《考试大纲》的考试内容与要求相吻合,考查的知识内容与方法分布与高中数学新课标和考试大纲所规定的相同.

三、           试题考查的知识和方法

题号

主要内容

知识与方法

1

集合

集合的交集

2

复数

复数的运算以及模长

3

统计

扇形图的应用

4

解析几何

椭圆的定义以及离心率

5

立体几何

圆柱的表面积求解

6

函数与导数

函数的奇偶性及切线方程

7

平面向量

平面向量的线性运算

8

三角函数

三角恒等变换

9

立体几何

三视图与曲面最短路线的求解

10

立体几何

长方体体积的求解

11

三角函数

三角函数的诱导公式

12

分段函数

分段函数与函数的单调性

13

复合函数

复合函数的求解

14

线性规划

闭合区域的线性规划求解

15

解析几何

直线以及圆的求解

16

解三角形

正、余弦定理解三角形

17

数列

等比数列及其前n项求和

18

立体几何

求证面面垂直问题以及四面体体积的大小

19

概率统计

频率分布直方图

20

解析几何

抛物线的求解

21

函数

解析式、导数、函数单调性、恒成立问题、最大值

22

平面几何

相似三角形、三角形外接圆、平面几何推理证明

23

坐标系与参数方程

圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标互化、参数方程运用、两点间距离公式

24

不等式

含绝对值不等式的解法、绝对值的几何意义

 

四、           试题分析

2018年全国新课标理科数学试卷注重思想考察本质,风格稳中有变

今年河南省使用的全国课标1卷的高考数学试题,依然延续了往年课标卷试题的风格:严格遵循考试说明和新课程标准的要求,以能力立意,在多角度多层次地考查基础知识和基本技能的同时,注重对考生数学思想和学科能力的考查。整个试卷呈由易到难,循序渐进的趋势,试题的结构、考点、试题的难易度与去年相比基本保持稳定。

一,选择题:本大题共12小题,每小题5,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,则

A                    B                   C          D

解析:集合A中和集合B中含有,所以选A.

命题意图:本题考查的是集合的概念,通过考查集合的交集知识,进而考查分析能力。

2.设,则

A0                             B                          C                           D

解析:

命题意图:本题考查的是复数的概念及运算,以复数为载体,通过分母实数化,考查运算能力。

3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:

则下面结论中不正确的是

A.新农村建设后,种植收入减少

B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

解析:A选项建设前种植收入为60,建设后收入为74,种植收入增加了,故A

命题意图:本题主要考查扇形图的应用,以图表为载体,考查数据的获取能力与分析能力。

4.已知椭圆的一个焦点为,则的离心率为

A                            B                          C                       D

解析:由焦点为

命题意图:本题主要考查椭圆的性质,以椭圆为载体,考查考生的运算分析能力。

5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为

A                    B                       C                    D

解析:由题意可知圆柱底面半径为,高也为,由圆柱表面积公式可得B选项正确。

命题意图:本题主要考查空间几何体的体积,通过还原几何体,求几何体的表面积,考查考生的空间想象能力及运算求解能力。

6.设函数.若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为

A                  B                   C                   D

解析:函数为奇函数,故a=1,由点斜式可得D选项为切线方程。

命题意图:本题主要考查切线方程的相关知识,以及函数的奇偶性,考查考生的运算求解能力。

7.在中,边上的中线,的中点,则

A                                              B

C                                              D

解析:

命题意图:本题考查了向量的线性运算,考查了考生的运算求解能力。

8.已知函数,则

A的最小正周期为π,最大值为3

B 的最小正周期为π,最大值为4

C 的最小正周期为,最大值为3

D的最小正周期为,最大值为4

解析:化简原式的

命题意图:本题考查了三角函数的性质,考查了考生的运算求解能力。

9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从的路径中,最短路径的长度为

A                                                         B

C                                                               D2

解析:

命题意图:本题考查了三视图、最短路径的长度,考查计算能力,空间想象能力,由三视图可知该几何体是圆柱。

10.在长方体中,与平面所成的角为,则该长方体的体积为

A                            B                     C                     D

解析:

命题意图:本题考查了正方体的体积求解,考查考生的空间想象能力与运算求解能力。

11.已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点,且

,则

A                           B                       C                     D

解析:

命题意图:本题考查了三角函数的性质,以三角函数为载体,化简为绝对值问题,考查考生的分析能力与运算求解能力。

12.设函数,则满足x的取值范围是

A              B               C                 D

解析:

命题意图:本题考查了分段函数的单调性,考查考生的运算求解能力。

13.已知函数,若,则________

解析:

命题意图:本题主要考查函数的求值问题,考查学生的运算求解能力。

14.若满足约束条件,则的最大值为________

解析:

命题意图:本题主要考查简单的线性规划问题,以不等式组为载体,借助线性规划问题,考查数形结合思想和运算求解能力。

15.直线与圆交于两点,则________

解析:

命题意图:本题考查了直线与圆的位置关系,考查学生运算求解能力。

16.△的内角的对边分别为,已知,则△的面积为________

解析:

命题意图:本题考查了解三角形的知识,通过正弦定理和余弦定理综合,进而求出三角形面积,考查考生的数形结合能力及运算求解能力。

17.(12分)

已知数列满足,设

1

2判断数列是否为等比数列,并说明理由;

3的通项公式.学,科网

解:(1)由条件可得an+1=

n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4

n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12

从而b1=1b2=2b3=4

2{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

由条件可得,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

3)由(2)可得,所以an=n·2n-1

命题意图:本题主要考查等比数列的通项公式,考查考生灵活运用数学知识分析问题与解决问题的能力。第一需要按照数列的性质进行计算,进而得出结果;而后两问则需要活用等比数列的性质,进而求出其通项公式。

18.(12分)

如图,在平行四边形中,,以为折痕将折起,使点到达点的位置,且

1证明:平面平面

2为线段上一点,为线段上一点,且,求三棱锥的体积.

解:(1)由已知可得,学科网=90°,学科网

BAAD,所以AB⊥平面ACD

AB平面ABC

所以平面ACD⊥平面ABC

2)由已知可得,DC=CM=AB=3DA=

学科网,所以

QEAC,垂足为E,则

由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABCQE=1

因此,三棱锥学科网的体积为

学科网

命题意图:本题以四棱锥为载体考查面面垂直及几何体的体积问题,考查考生的空间想象能力和考生的运算求解能力。第一问按照正常证明垂直的道路求解即可,而第二问则不需要转体,降低了题目难度,但对知识运用的灵活性有着更高的要求。

19.(12分)

某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用

水量

频数

1

3

2

4

9

26

5

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用

水量

频数

1

5

13

10

16

5

1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:

2估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;

3估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)

解:(1

2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为

0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48

3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

估计使用节水龙头后,一年可节省水

命题意图:本题主要考查频率分布直方图,考查考生的阅读能力、信息迁移能力和分析问题、解决问题的能力。第一个问需要补齐频率分布直方图,而后两问则围绕频率分布直方图展开提问,增强了考查的灵活性。

20.(12分)

设抛物线,点,过点的直线交于两点.

1轴垂直时,求直线的方程;

2证明:

解:(1)当lx轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(22)或(2–2).

所以直线BM的方程为y=

2)当lx轴垂直时,ABMN的垂直平分线,所以∠ABM=ABN

lx轴不垂直时,设l的方程为Mx1y1),Nx2y2),则x1>0x2>0

ky2–2y–4k=0,可知y1+y2=y1y2=–4

直线BMBN的斜率之和为

.①

y1+y2y1y2的表达式代入①式分子,可得

所以kBM+kBN=0,可知BMBN的倾斜角互补,所以∠ABM+ABN

综上,∠ABM=ABN

命题意图:本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系,考查考生的运算求解能力与探究能力。第一问直接求出直线方程,而第二问是探究性问题,将直线方程与抛物线方程联立,利用根与系数的关系化简求解。

21.(12分)

已知函数

1的极值点.求,并求的单调区间;

2证明:当时,

解:(1fx)的定义域为学科网f ′x=aex学科网

由题设知,f ′2=0,所以a=

从而fx=f ′x=

0<x<2时,f ′x<0;当x>2时,f ′x>0

所以fx)在(02)单调递减,在(2+∞)单调递增.

2)当a学科网时,fx学科网

gx=学科网,则

0<x<1时,g′x<0;当x>1时,g′x>0.所以x=1gx)的最小值点.

故当x>0时,gxg1=0

因此,当时,

命题意图:本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等,涉及分类讨论思想、方程与函数思想、构造法的应用。

22[选修4—4:坐标系与参数方程]10分)

在直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

1的直角坐标方程;

2有且仅有三个公共点,求的方程.

解:(1)由的直角坐标方程为

2)由(1)知是圆心为,半径为的圆

由题设知,是过点且关于轴对称的两条射线.记轴右边的射线为轴左边的射线为.由于在圆的外面,故有且仅有三个公共点等价于只有一个公共点且有两个公共点,或只有一个公共点且有两个公共点

只有一个公共点时,所在直线的距离为,所以,故

经检验,当时,没有公共点;当时,只有一个公共点,有两个公共点

只有一个公共点时,所在直线的距离为,所以,故

经检验,当时,没有公共点;当时,没有公共点

综上,所求的方程为

命题意图:本题考查极坐标方程与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线和圆的位置关系等。

23[选修4—5:不等式选讲]10分)

已知

1时,求不等式的解集;

2时不等式成立,求的取值范围.

解:(1)当时,,即

故不等式的解集为

2)当成立等价于成立

,则当

的解集为,所以,故

综上,的取值范围为

命题意图:本题考查绝对值不等式的恒成立问题,第一问可通过数形结合法或绝对值不等式的性质进行解答,第二问则对a进行分类讨论,进而求解。

五、           小结

2018年的高考数学已经落下帷幕,整体来看试题比较新颖,难度中等、试卷结构基本可以达到稳中求变,灵活有度。

1、选择题部分:基本沿袭了以往新课标的出题模式和难易程度,知识模块上加强了对于几何的考察,三角函数、解析几何、导数单调性等典型题型都体现在选择题部分。这些题型都是我们平时在模拟练习时重点练习的题目,所以学生相对还是比较好拿分的。选择题在立体几何部分,对于学生的空间想象力提出后了更高的要求,第5910题一如既往,在立体几何部分下尽了工夫,这是文科学生薄弱的部分,需要在今后的教学中加强这部分的练习。此外,本次选择题没有对于算法的考查,体现了一些知识性考查的一些转移,这次考试在运算的准确度对学生提出更高的要求,出题人设置了不少的陷阱等待学生去关注,这也是拿到理想分数的关键。

2、填空题部分:难度和选择题的难度基本一致,第15题考核的是必修2的直线与圆部分,第16题考核是解三角形,需要对正余弦定理的交叉点进行挖掘,进而求出三角形的面积,这是对17题另一个方向的一个补充。

3、解答题部分:第17题脱离了前八年文科数学“两年数列两年三角交替进行”的规律,与去年一样考察数列基本量的运算,难度不大,只要公式记忆准确,即可以夺得满分。第18题立体几何考核的投影问题,不是我们平时模拟练习的平行垂直的证明,但是只要知道投影的本质是线面垂直,通过线面垂直的判断和正棱锥的定义即可得证。第19题概率出现了频率分布直方图,较为中规中矩。第20题圆锥曲线以抛物线为外衣,第一问考核求曲线方程。第二问还是常规的直曲联立题型,只不过是换了新的问法,但在运算上的难度降低不少,比较中规中矩。第21题导数题目比平时练习的题目多加了一点“料”,将对数函数与指数函数结合起来,但实质考点仍为含参导数单调性的讨论,函数零点问题转化为极值的正负的讨论,仍旧变化不大。综合整张试卷,几何的考核逐步加强,考核模块比较集中,对于各个模块考核的灵活度开始增强。这些变革都是引导我们要进一步注重基础、夯实基础,不要一味地死记结论,忽略了定义定理的重要性。切记:套路深似海,唯有学扎实!

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