2017年普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）2卷

注意事项：

    1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

 

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. （   ）

A．           B．            C．             D．

2. 设集合，．若，则（   ）

A．          B．             C．            D．

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ）

A．1盏              B．3盏             C．5盏               D．9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（   ）

A．             B．              C．             D．

 

5. 设，满足约束条件，则的最小值是（   ）

A．              B．                C．1                 D．9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（   ）

A．12种              B．18种               C．24种             D．36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（   ）

A．乙可以知道四人的成绩                     B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩                 D．乙、丁可以知道自己的成绩

8. 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（   ）

A．2

B．3

C．4

D．5

9. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（   ）

A．2                 B．

C．                D．

10. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A．               B．              C．            D．

11. 若是函数的极值点，则的极小值为（   ）

A.                 B.               C.              D.1

12. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（   ）

A.               B.               C.                   D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则          ．

14. 函数（）的最大值是          ．

15. 等差数列的前项和为，，，则          ．

16. 已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则            ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

的内角所对的边分别为，已知，

（1）求；

（2）若，的面积为2，求．

18.（12分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：

（1）   设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计的概率；

（2）   填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

 

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

 

（3）   根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（）	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

 

 

 

 

 

19.（12分）

如图，四棱锥中，侧面为等比三角形且垂直于底面， 是的中点.

（1）证明：直线 平面PAB

（2）点在棱上，且直线与底面所成角为 ，求二面角的余弦值

20. （12分）

设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点.

21.（12分）

已知函数，且。

（1）求；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知，证明：

（1）；

（2）．

2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2

理科数学参考答案

一、选择题：

1. D    2. C    3. B    4. B    5. A    6. D

7. D    8. B    9. A    10. C   11. A   12. B

二、填空题：

13. 1.96        14. 1       15.        16. 6

三、解答题：

17.（12分）解：

（1）由题设及得，故

上式两边平方，整理得

解得

（2）由，故

又

由余弦定理及得

所以

18.（12分）

解：

（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50”， 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50”.

由题意知

旧养殖法的箱产量低于50的频率为

，

故的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50的频率为

，

故的估计值为0.66

因此，事件的概率估计值为

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

	箱产量	箱产量
旧养殖法
新养殖法

由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关。

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为

，

箱产量低于的直方图面积为

，

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

19.（12分）

解：

（1）取的中点，连接，

因为是的中点，

所以，

由

得，

又，

所以，

四边形是平行四边形，，

又平面，平面，

故平面

（2）由已知得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则

，

设，则

因为与底面所成的角为，而是底面的法向量，

所以，

即                          ①

又在棱上，设，则

                       ②

由①，②解得（舍去），

所以，从而

设是平面的法向量，则

  即

所以可取，

于是

因此二面角的余弦值为

20. （12分）

解：

（1）设，，

则

由得     

因为在上，所以

因此点的轨迹方程为

（2）由题意知

设，则

，

由得

又由（1）知，故

所以，即.

又过点存在唯一直线垂直于，

所以过点且垂直于的直线过的左焦点.

21.（12分）

解：

（1）的定义域为

设，则等价于

因为，

故，

而，

得

若，则

当时，单调递减；

当时，单调递增

所以是的极小值点，故

综上，

（2）由（1）知

设，则

当时，；当时，.

所以在单调递减，在单调递增.

又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，.

因为，所以是的唯一极大值点.

由得，故.

由得.

因为是在的最大值点，由得

.

所以

（二）选考题：

 22.解：

（1）设的极坐标为，的极坐标为.

由题设知

由得的极坐标方程

因此的直角坐标方程为

（2）设点的极坐标为.

由题设知，

于是面积

.

当时，取得最大值

所以面积的最大值为

23.解：

（1）

（2）因为

所以，因此.