2017年普通高等学校招生全国统一考试（文科数学）2卷

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）

文科数学

注意事项：

    1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

 

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合，则

A.         B.        C.           D.

2.

A.              B.          C.             D.

3. 函数的最小正周期为

A.4               B.2               C.            D.

4. 设非零向量，满足则

A. ⊥           B.           C. ∥       D.

5. 若，则双曲线的离心率的取值范围是

A.         B.            C.       D.

6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

A. 90

B. 63

C. 42

D. 36

7. 设满足约束条件 。则 的最小值是

A. -15          B.-9            C. 1            D 9

8. 函数 的单调递增区间是

A.(-,-2)      B. (-,-1)     C.(1, +)      D. (4, +)

9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则

A. 乙可以知道两人的成绩             B. 丁可能知道两人的成绩

C. 乙、丁可以知道对方的成绩         D. 乙、丁可以知道自己的成绩

10. 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的S=

A.2

B.3

C.4

D.5

11. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

A.       B.

C.       D.

12. 过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为

A.          B.          C.          D.

二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的最大值为                 .

14. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，

则                

15. 长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为

                

16. 的内角的对边分别为，若，则

                 

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，.

（1）若 ，求的通项公式；

（2）若，求.

18.(12分)

如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，。

（1）   证明：直线平面；

（2）   若的面积为，求四棱锥的体积。

 

19.（12分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：

（1）   记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；

（2）   填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

（3）   根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。

附：

P（）	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

 

20.（12分）

设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点.

 

（21）（12分）

设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知，证明：

（1）；

（2）．

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）

文科数学参考答案

一、选择题

1. A    2. B    3. C    4. A    5. C    6. B

7. A    8. D    9. D    10. B   11. D   12. C

二、填空题

13.          14. 12          15.             16.  

三、解答题

17.（12分）

解：设的公差为，的公比为，则.由得

.                      ①

（1）由得

                     ②

联立①和②解得（舍去），

因此的通项公式

（2）由得.

解得

当时，由①得，则.

当时，由①得，则.

18.(12分)

解：

（1）在平面内，因为，所以.

又平面平面，

故平面

（2）取的中点，连结.

由及，

得四边形为正方形，则.

因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，

所以底面.

因为底面，所以.

设，则.取的中点，连结，则，所以

因为的面积为，所以，

解得（舍去），.

于是.

所以四棱锥的体积

19.（12分）

解：

（1）旧养殖法的箱产量低于的频率为

因此，事件的概率估计值为0.62

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法	62	38
新养殖法	34	66

 

由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值（或中位数）在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.

20.（12分）

解：

（1）设，，

则

由得     

因为在上，所以

因此点的轨迹方程为

（2）由题意知

设，则

，

由得

又由（1）知，故

所以，即.

又过点存在唯一直线垂直于，

所以过点且垂直于的直线过的左焦点.

 

（21）（12分）

解：

（1）

令得

当时，；

当时，；

当时，.

所以在单调递减，在单调递增.

（2）

当时，

设函数，

因此在单调递减，

而，故，

所以

当时，

设函数，

所以在单调递增，

而，故

当时，

，，

取，

则，

故

当时，

取，则

综上，的取值范围是.

 

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

解：

（1）设的极坐标为，的极坐标为.

由题设知

由得的极坐标方程

因此的直角坐标方程为

（2）设点的极坐标为.

由题设知，

于是面积

.

当时，取得最大值

所以面积的最大值为

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

解：

（1）

（2）因为

所以，因此.