2016年普通高等学校招生全国统一考试（文科数学）1卷

2016年全国高考新课标1卷文科数学试题

第Ⅰ卷

一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=(    )

A．{1,3}         B．{3,5}        C．{5,7}       D．{1,7}

2．设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=(    )

A．-3         B．-2          C．2          D． 3

3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(    )

A．          B．         C．          D． 

4．ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知，

则b=(    )

A．           B．         C．2          D．3

5．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的

，则该椭圆的离心率为(    )

A．          B．         C．          D． 

6．若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为

(    )

A．y=2sin(2x+)  B．y=2sin(2x+)  C．y=2sin(2x–)  D．y=2sin(2x–)

7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个

圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积是，

则它的表面积是(    )

A．17π     B．18π     C．20π     D．28π

8．若a>b>0，0<c<1，则(    )

A．log_ac<log_bc    B．log_ca<log_cb     C．a^c<b^c     D．c^a>c^b

9．函数y=2x²–e^|x|在[–2,2]的图像大致为(    )

 

 

 

 

 

10．执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，

则输出x，y的值满足(    )

A．y=2x             B．y=3x 

C．y=4x             D．y=5x

 

11．平面α过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A，

 α//平面CB₁D₁，α∩平面ABCD=m，

α∩平面ABB₁A₁=n，则m，n所成角的正弦值为(    )

A．      B．     C．     D． 

12．若函数在(-∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是(    )

A．[-1,1]      B．[-1,]     C．[-,]     D．[-1,-]

 

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

13．设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x=      .

14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ-)=       .

15．设直线y=x+2a与圆C：x²+y²-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=，

则圆C的面积为        。

16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为

           元。

 

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。

17.（本题满分12分）

已知{a_n}是公差为3的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n.

(Ⅰ)求{a_n}的通项公式；       (Ⅱ)求{b_n}的前n项和.

 

 

 

 

18.（本题满分12分）

如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，

连接PE并延长交AB于点G.

(Ⅰ)证明G是AB的中点；

(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC

内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．

 

 

 

 

 

 

19.（本小题满分12分）

某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.

(Ⅰ)若n=19，求y与x的函数解析式；

(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

 

 

 

 

 

 

20.（本小题满分12分）

在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y²=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.

(Ⅰ)求； (Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=(x -2)e^x+a(x -1)².

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；   (Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，OA为半径作圆.

(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；

(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.

 

 

 

 

 

 

 

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为（t为参数，a>0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4cosθ.

(Ⅰ)说明C₁是哪种曲线，并将C₁的方程化为极坐标方程；

(Ⅱ)直线C₃的极坐标方程为θ=α₀，其中α₀满足tanα₀=2，若曲线C₁与C₂的公共点都在C₃上，求a。

 

 

 

 

 

 

 

 

24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.

(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像；

(Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集。

 

 

 

 

 

 

 

2016年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案

一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1B  2A  3C  4D  5B     6D  7A  8B  9D  10C    11A  12C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．    14．   15．4π     16．216000

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。

17．解：(Ⅰ)依题a₁b₂+b₂=b₁，b₁=1，b₂=，解得a₁=2      …2分

通项公式为  a_n=2+3(n-1)=3n-1                       …6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nb_n+1=nb_n，b_n+1=b_n，所以{b_n}是公比为的等比数列.…9分

所以{b_n}的前n项和S_n=     …12分

18．(Ⅰ)证明：PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB．

又DE⊥平面PAB，∴DE⊥AB．∴AB⊥平面PDE． …3分

又PG Ì平面PDE，∴AB⊥PG．依题PA=PB，∴G是AB的中点．…6分

(Ⅱ)解：在平面PAB内作EF⊥PA（或EF// PB）垂足为F，

则F是点E在平面PAC内的正投影。                  …7分

理由如下：∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴ PC⊥平面PAB． ∴EF ⊥PC

作EF⊥PA，∴EF⊥平面PAC．即F是点E在平面PAC内的正投影。…9分

连接CG，依题D是正ΔABC的重心，∴D在中线CG上，且CD=2DG．

易知DE// PC，PC=PB=PA= 6，∴DE=2，PE=．

则在等腰直角ΔPEF中，PF=EF=2，∴ΔPEF的面积S=2．

所以四面体PDEF的体积。        …12分

19．解：(Ⅰ)当x≤19时，y=3800；当x>19时，y=3800+500(x-19)=500x-5700.

所以y与x的函数解析式为     …3分

(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19.                                     …6分

(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的

平均数为(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.         …9分

若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的

平均数为(4000×90+4500×10)=4050.                  …11分

    比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件。…12分

 

20．解：(Ⅰ)依题M(0, t)，P(, t). 所以N(, t)，ON的方程为。

    联立y²=2px，消去x整理得y²=2ty.  解得y₁=0，y₂=2t.     …4分

    所以H(,2t). 所以N是OH的中点，所以=2。     …6分

(Ⅱ)直线MH的方程为，联立y²=2px，消去x整理得y²-4ty+4t²=0. 

解得y₁=y₂=2t. 即直线MH与C只有一个交点H。

所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点。         …12分

 

21．解：(Ⅰ) f '(x)=(x -1)e^x+a(2x -2)=(x -1)(e^x+2a).  x∈R     …2分

    (1)当a≥0时，在(-∞,1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；

在(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。     …3分

(2)当a<0时，令f '(x)=0，解得x =1或x=ln(-2a).

①若a=，ln(-2a) =1，f '(x)≥0恒成立，所以f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增。

②若a>，ln(-2a)<1，在(ln(-2a),1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；

在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。

③若a<，ln(-2a)>1，在(1,ln(-2a))上，f '(x)<0，f(x)单调递减；

在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。…7分

(Ⅱ) (1)当a=0时，f(x)=(x -2)e^x只有一个零点，不合要求。     …8分

(2)当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增。

最小值f(1)=-e<0，又f(2)= a>0，若取b<0且b<ln，e^b<.

从而f(b)>，所以f(x)有两个零点. …10分

(3)当a<0时，在(-∞,1]上，f(x)<0恒成立；若a≥，由(Ⅰ)知f(x)在(1,+∞)上单调递增，不存在两个零点。若a<，f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减；在(ln(-2a),+∞)上单调递增，也不存在两个零点。

综上a的取值范围是(0,1).                   …12分

 

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，OA为半径作圆.

(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；

(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.

证明：(Ⅰ)设E是AB的中点，连接OE，因为OA=OB，

∠AOB=120°. 所以OE⊥AB，∠AOE=60°.   …3分

在RtΔAOE中，OE=OA. 即圆心O到直线AB的

距离等打半径，所以直线AB与⊙O相切。  …5分

 

(Ⅱ)因为OD=OA，所以O不是A,B,C,D四点共圆的圆心，故设其圆心为O'，则O'在AB的垂直平分线上。         

又O在AB的垂直平分线上，作直线O O'，所以O O'⊥AB。…8分

     同理可证O O'⊥CD。所以AB∥CD.     …10分

 

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为（t为参数，a>0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4cosθ.

(Ⅰ)说明C₁是哪种曲线，并将C₁的方程化为极坐标方程；

(Ⅱ)直线C₃的极坐标方程为θ=α₀，其中α₀满足tanα₀=2，若曲线C₁与C₂的公共点都在C₃上，求a。

解：(Ⅰ)消去参数t得到C₁的普通方程x²+(y-1)²=a².  

所以C₁是以(0,1)为圆心a为半径的圆。                         …3分

    将x=rcosq，y=rsinq代入可得C₁的极坐标方程为r²-2r sinq+1-a²=0. …5分

(Ⅱ)联立r²-2r sinq+1-a²=0与ρ=4cosθ消去ρ得16cos²q-8sinq cosq+1-a²=0，

由tanθ=2可得16cos²q-8sinq cosq=0.  从而1-a²=0，解得a=1。    …8分

    当a=1时，极点也是C₁与C₂的公共点，且在C₃上，综上a=1。  …10分

 

24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.

(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像；

(Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集。

解：(Ⅰ)

y=f(x)的图像如图所示。   …5分

(Ⅱ)由f(x)的图像和表达式知，当f(x)=1时，解得x=1或x=3.

当f(x)=-1时，解得x=或x=5.                             …8分

    结合f(x)的图像可得| f(x)|>1的解集为{x|x<或1< x<3或x>5}.  …10分

 

 

 

 

小题详解

一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=(    )B

A．{1,3}         B．{3,5}        C．{5,7}       D．{1,7}

解：取A，B中共有的元素是{3,5}，故选B

2．设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=(    ) A

A．-3         B．-2          C．2          D． 3

解：(1+2i)(a+i)= a-2+(1+2a)i，依题a-2=1+2a，解得a=-3，故选A

3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(    ) C

A．          B．         C．          D． 

解：设红、黄、白、紫4种颜色的花分别用1,2,3,4来表示，则所有基本事件有 (12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，共6个，其中1和4不在同一花坛的事件有4个， 其概率为P=，故选C

4．ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知，

则b=(    )D

A．           B．         C．2          D．3

解：由余弦定理得：5=4+b²-4b×， 则3b²-8b-3=0，解得b=3，故选D

5．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的

，则该椭圆的离心率为(    )B

A．          B．         C．          D． 

解：由直角三角形的面积关系得bc=，解得，故选B

6．若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为

(    ) D

A．y=2sin(2x+)  B．y=2sin(2x+)  C．y=2sin(2x–)  D．y=2sin(2x–)

解：对应的函数为y=2sin[ 2(x-)+]，即y=2sin(2x–)，故选D

 

 

7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个

圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积是，

则它的表面积是(    ) A

A．17π     B．18π     C．20π     D．28π

解：依图可知该几何体是球构成截去了八分之一，其体积

，解得R=2，表面积，故选B

8．若a>b>0，0<c<1，则(    )B

A．log_ac<log_bc    B．log_ca<log_cb     C．a^c<b^c     D．c^a>c^b

解：取特值a=1，b=0.5，c=0.5，可排除A，C，D，故选B

9．函数y=2x²–e^|x|在[–2,2]的图像大致为(    )D

 

 

 

 

 

 

 

解：当0≤x≤2时，y'=4x–e^x，函数先减后增，且y'|_x=0.5>0，最小值在(0,0.5)内.

故选D

10．执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，

则输出x，y的值满足(    )C

A．y=2x             B．y=3x 

C．y=4x             D．y=5x

解：运行程序，循环节内的n，x，y依次为

(1,0,1)，(2,0.5,2)，(3,1.5,6)， 输出x=1.5，y= 6，

故选C

11．平面α过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A，

 α//平面CB₁D₁，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB₁A₁=n，

则m，n所成角的正弦值为(    )A

A．      B．     C．     D． 

解：平面A₁B₁C₁D₁∩平面CB₁D₁= B₁D₁与m平行，平面CDD₁C₁∩平面CB₁D₁= CD₁与n平行，所以m，n所成角就是B₁D₁与CD₁所成角，而ΔCB₁D₁是等边三角形，则所成角是60°，故选A

12．若函数在(-∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是(    )C

A．[-1,1]      B．[-1,]     C．[-,]     D．[-1,-]

解：，，

依题f'(x)≥0恒成立，即acosx≥恒成立，而(acosx)_min=-|a|，，故选C

 

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

13．设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x=      .

解：依题x+2(x+1)=0，解得x=

14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ-)=       .

解：依题θ+是第一象限角，cos(θ+)=，tan(θ-)=- tan(-θ)

=- tan[-(θ+)]=- sin[-(θ+)]/cos[-(θ+)]=- cos(θ+)/ sin(θ+)=

15．设直线y=x+2a与圆C：x²+y²-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=，

则圆C的面积为        。4π

解：圆方程可化为x²+ (y-a)²=a²+2，圆心C到直线距离d=，由d²+3=a²+2，

解得a²=2，所以圆半径为2，则圆面积为4π

16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为

           元。216000

解：设生产A、B两种产品各x件、y件，利润之和是z＝2100x+900y，

约束条件是，即

作出可行域四边形OABC，如图.

画出直线l₀：7x+3y =0，平移l₀到l，

当l经过点B时z最大，联立10x+3y=900与5x+3y=600

解得交点B(60,100)，所以 z_max=126000+90000=216000.