湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）

 

姓名：                  班级 ：                分数 ：            

 

一、填空题（本题满分70分，每小题7分）

1．方程的实数解为                ．

2．函数R的单调减区间是                      .

3．在△中，已知，，则＝                  .

4．函数在区间上的最大值是        ，最小值是       ．

5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，

其中、、，则的取值范围为                   ．

6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数

在区间上至少有            个零点.

7．从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意

两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为         ．

8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀金银的概率是                ．

9．在三棱锥中，已知， 

，且．已知棱的长为，则此棱锥的体积为               ．

10．设复数列满足，，且．若对任意N^* 都有，

则的值是                  ．

 

 

 

 

二、解答题（本题满分80分，每小题20分）

11．直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若

，证明：线段的中点在椭圆上．

 

 

 

12．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次

成等比数列．

    (1)  求数列的通项公式；

    (2)  求出所有的正整数，使得．

 

 

 

13．如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足. 

过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、．

证明： (1)  点、、、共圆；

           (2)  四边形是矩形．

 

 

 

14．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．

 

 

 

 

 

高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）详细解答

一、填空题（本题满分70分，每小题7分）

1．方程的实数解为                ．

    提示与答案：x＜0无解; 当时，原方程变形为3^2x+3^x－6=0，解得3^x=2，x=log₃2．

2．函数R的单调减区间是                      .

提示与答案：与f(x)=y²=1+|sin2x|的单调减区间相同， Z．

3．在△中，已知，，则＝                  .

提示与答案：，得．

4．函数在区间上的最大值是        ，最小值是       ．

提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．

5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，

其中、、，则的取值范围为                   ．

提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[，10]．

6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数

在区间上至少有            个零点.

提示与答案：f(2k-1)=0，k∈Z.  又可作一个函数满足问题中的条件，且的

一个零点恰为，k∈Z.  所以至少有50个零点.

7．从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意

两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为         ．

提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．

 

8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中

镀金银的概率是                ．

提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 ．

9．在三棱锥中，已知， 

，且．已知棱的长为，则此棱锥的体积为               ．

提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．

10．设复数列满足，，且．若对任意N^* 都有，

则的值是                  ．

提示与答案：由，

恒成立，即. 因为或，故，所以

．

 

二、解答题（本题满分80分，每小题20分）

11．直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若

，证明：线段的中点在椭圆上．

解：设A(x₁，y₁)，B (x₂，y₂)，则 ＋y₁²＝1，＋y₂²＝1．

    由，得 M(x₁＋x₂，y₁＋y₂)．

    因为M是椭圆C上一点，所以 

         ＋(y₁＋y₂)²＝1，                      …………………6分

    即 (＋y₁²)()²＋(＋y₂²)()²+2()()(＋y₁y₂)=1，

    得 ()²＋()²+2()()(＋y₁y₂)＝1，故

             ＋y₁y₂＝0．                              …………………14分

    又线段AB的中点的坐标为 (，)，

    所以     ＋2()²＝(＋y₁²)+(＋y₂²)+＋y₁y₂＝1，

    从而线段AB的中点(，)在椭圆＋2y²＝1上．    ………………20分

12．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次

成等比数列．

    (1)  求数列的通项公式；

    (2)  求出所有的正整数，使得．

解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a₅=－1+2d，a₆=－1+3d，d为整数.

    又a₅，a₆，a₇成等比数列，所以(3d－1)²=4(2d－1)，

    即  9d²－14d+5=0，得d =1.                                 …………………6分

    当n≤6时，a_n =n－4，

    由此a₅=1，a₆=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，

    所以，当n≥5时，a_n =2^n-5.

    故 a_n =                            …………………10分

(2) 由（1）知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…

    当m=1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；

    当m=3时等式成立，即 －1+0+1=0； 

    当m=2、4时等式不成立；                           …………………15分

    当m≥5时，a_ma_m+1a_m+2 =2^3m-12， a_m +a_m+1+a_m+2=2^m-5(2³－1)=7×2^m-5，

             7×2^m-5≠2^3m-12，

    所以 a_m +a_m+1+a_m+2≠a_ma_m+1a_m+2 .                                             

    故所求 m= 1，或m=3．                             …………………20分

13．如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足. 

过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、．

证明： (1)  点、、、共圆；

           (2)  四边形是矩形．

证明：(1) 由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，

    又同弧的圆周角  ∠BAF=∠BEC，

    ∴  ∠BAF=∠BHF，

∴  点 A、B、F、H共圆； 

…………………8分

(2)   由(1)的结论，得 ∠BHA=∠BFA，

     ∵  BE⊥AD，  ∴  BF⊥AC，

     又AD是圆的直径，∴  CG⊥AC，               …………………14分

     由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，

∴∠BFG =∠DAB =∠BCG，     ∴ B、G、C、F共圆.

∴ ∠BGC=∠AFB=90⁰,          ∴  BG⊥GC，

     ∴  所以四边形BFCG 是矩形．                  …………………20分

14．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．

解：若x=y，则x²+3x是完全平方数.

    ∵  x²＜x²+3x＜x²+4x+4= (x+2)²，

    ∴  x²+3x= (x+1)²，∴  x=y =1.                         ………………5分

    若x＞y，则x²＜x²+3y＜x²+3x＜x²+4x+4= (x+2)².

    ∵  x²+3y是完全平方数，

    ∴  x²+3y= (x+1)²，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数.

    又  y²+3x= 4k²+4k+1+9k+3=4k²+13k+4是完全平方数，且

           (2k+2)²=4k²+8k+4＜4k²+13k+4＜4k²+16k+16= (2k+4)²，

    ∴  y²+3x=4k²+13k+4=(2k+3)²，

    得 k=5，从而求得x=16，y=11.                       …………………15分

    若x＜y，同x＞y情形可求得 x=11，y=16.

    综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)．        …………………20分