贝努利（Bernouli）不等式的证明及应用

贝努利（Bernouli）不等式的证明及应用

且，n为整数；有 

证法1：（数学归纳法）

（1）当时，等式显然成立

     当时，

（2）假设时，等式成立，（）有

当n=k+1时，

综上可知不等式成立

证法2：联想到

当时，

当   

证法3：当

当，则

证法4：

证法5：只证；        设

，故

 

 

应用举例

1．  已知

（1）       证明：

（2）       证明：

证：（1）略

   （2）； 

2．（07湖北21）已知

（1）用数学归纳法证明：

（2）对于。已知，求证：

（3）求出满足等式的所有正整数n

证：（1）略    （2）当，时；由（1）知

于是

（3）       由（2）知，当时，

即，即当时不存在满足该等式的正整数n，故只需讨论的情况，经检验，可求n只有

推论

1），且

2），有

   ，有

3）；则有

4）设，则当且仅当时取到“=”

证：

3.设函数

（1）当n=6时，求的展开式中二项式系数最大的项

（2），证明

（3）是否存在使得

若存在，试证明你的结论，并求出a的值；若不存在，请说明理由？

解：给（3）一个全新的证法

，

即；  两边6次方

；有，进而有

从而有成立

综上存在a=2使得不等式恒成立。

（后加：  ）