辅助线作法之倍长中线典型例题

倍长中线

倍长中线指的的是在具体的几何图形中，如果出现中线或经过线段中点的线段，应该把该中线或经过线段中点的线段延长一倍，从而构造全等解决问题。有以下常见三种辅助线作法。

（1）倍长中线

例1 如图，在△ABC中，AD是边BC的中线，若AB=6,AC=4,则AD的取值范围是__________.

分析：如下图，延长AD至E使得DE=AD，连接BE。从而构造△ADC和△EDB全等，把已知边和未知边转化到△ABE中，利用三角形三边关系得解。

注：在例1当中，AB,AD和AC两条边和一条中线知道其中两条，均可以用此模型算第三条的取值范围。

思考：把例1改为：如例1图，在△ABC中，AD是边BC的中线，若AB=6,AD=4,则AC的取值范围是__________.(答案：2<><>

（2）倍长经过中点的线段

例2. 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线,交BC于D，MF∥AD交AC于F，求证：AB+AC=2FC

分析：本题中，FM不是中线，毕竟BF没有被连接起来，此时我们称FM为经过中点M的线段，把其倍长。如下图，延长FM至E使得ME=FM，连接BE，此时黄颜色的两个三角形全等，从而FC=BE，再把BA延长交MF延长线于O，由平分角和平行线条件可得AF=AO，即小块绿色为等腰三角形，进一步可得大块绿色也为等腰三角形，即BO=BE .所以，AB+AF=FC.从而得证。

思考.如图，已知D为△ABC边BC的中点，E、F分别在AB、AC边上且DE⊥DF，判断BE+CF与EF的大小关系__________.

（3）延长中线或经过中点的线段

例3如图，△ABC和△EDC均为等腰直角三角形，∠ABC=∠EDC=90°,点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，求证：△BMD是等腰直角三角形。

分析：如下图，此题如果选择倍长BM或DM也可以，如下图，若延长BM至F使得MF=BM，此时容易忽略要证D,E,F共线，一般此时我们可以延长BM交DE延长线于F，可得两块黄颜色三角形全等，再证绿色三角形为等腰直角三角形，可得结论。

思考题：已知正方形ABCD中，E为边AB上一点，过E点作EF⊥AB交BD于F，G为DF中点，连接EG，CG。求证：EG=CG.