典型例题分析1: 若函数f(x)=(x2﹣ax+a+1)ex(a∈N)在区间(1,3)只有1个极值点,则曲线f(x)在点(0,f(0))处切线的方程为. 解:f′(x)=ex[x2+(2﹣a)x+1], 若f(x)在(1,3)只有1个极值点, 则f′(1)·f′(3)<0, 即(a﹣4)(3a﹣16)<0, 解得:4<a<16/3,a∈N, 故a=5; 故f(x)=ex(x2﹣5x+6),f′(x)=ex(x2﹣3x+1), 故f(0)=6,f′(0)=1, 故切线方程是:y﹣6=x, 故答案为:x﹣y+6=0. 考点分析: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 题干分析: 求出函数的导数,根据f′(1)·f′(3)<0,得到关于a的不等式,求出a的值,从而计算f(0),f′(0)的值,求出切线方程即可. 典型例题分析2: 解:∵方程f(x)﹣ax=0恰有两个不同实数根, ∴y=f(x)与y=ax有2个交点, 又∵a表示直线y=ax的斜率, ∴x>1时,y′=1/x, 设切点为(x0,y0),k=1/x0, ∴切线方程为y﹣y0=1/x0(x﹣x0), 而切线过原点,∴y0=1,x0=e,k=1/e, ∴直线l1的斜率为1/e, 又∵直线l2与y=x/3+1平行, ∴直线l2的斜率为1/3, ∴实数a的取值范围是[1/3,1/e) 故选:B. 考点分析: 利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断. 题干分析: 由题意,方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,等价于y=f(x)与y=ax有2个交点,又a表示直线y=ax的斜率,求出a的取值范围. 典型例题分析3: 若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线,则实数a=( ) 考点分析: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 题干分析: 设出切点坐标,求出函数的导数,利用导数的几何意义求出切线方程,进行比较建立方程关系进行求解即可. |
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