(3)《选修4-5》P：17例5解不等式法1：零点分段法(书写格式2)(x≤-2)原不等式等价于解：(-2＜x＜1)(x≥1)而解得x∈（-∞，-3]∪[2,+∞）(3)《选修4-5》P：17例5解不等式法1：零点分段法(书写格式3)综上x∈（-∞，-3]∪[2,+∞）解：x≤-2-(x-1)-(x+2)≥5或或-2＜x＜1-(x-1)+(x+2)≥5x≥1(x-1)+(x+2)≥5x∈φx≤-3或或x≥2(3).解不等式法2：函数图象法：故所求解集为四点三线法O-32函数的图象如下(3)《选修4-5》P：17例5解不等式法3：绝对值几何意义法1-2-32故所求解集为如图，的几何意义是：动点x到两定点－2和1距离之和不小于5四、抽象不等式：抽象不等具体化数形结合性质法辅助函数是关键增大减小是根本法1：令f（x）=|x|,法2：依题意得,原不等式等价于故,解得(4).(2009年辽宁)若偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增则满足的x取值范围是A.B.C.D.又因f(x)在[0,+∞)上↗即解……【A】(5)(2011年辽宁)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2对任意x∈R，f/(x)＞2，则f(x)＞2x+4的解集为A.(-1.1)B.(-1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,+∞)法1：令f（x）=3x+5……故f（x）＞2x+4等价于g（x）＞g（-1）法2：令g（x）=f（x）-2x-4由题意得g/(x)=f/(x)-2＞0在R上恒成立即g(x)在R上↗因g（-1）=f（-1）+2-4=0解g（x）＞g（-1）得x＞-1【B】一、解不等式组二、解连不等式五、解根式不等式四、解抽象不等式§63解不等式(二)三、解绝对值不等式高中数学研究的主要内容关系确定关系随机关系数数关系：形形关系：立体几何解析几何代数数形关系：函数方程不等式解析式不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值规律与统计不等式的性质(一)作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二)性质：3.重要的不等式多多益善十四条文字背诵是关键说明：不等式的性质分类：①按课本上的分类方式：……②按资料上的分类方式：单向式；双向式……③按自己的分类方式：……1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b是等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＜b；如果a＞b,b＞c,那么a＞c如果a>b，那么bb?a＞bb＜aa>b，b>c?a>c三、性质(一)作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二)性质：多多益善十四条文字背诵是关键⑴对一个不等式的运算(变形)⑵对多个不等式的运算(变形)⑴对一个不等式的运算(变形)④加(减):如果a>b，那么a+c>b+c⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc如果a>b,且c<0,那么acb,c>0?ac>bca>b?a+c>b+ca>b,c<0?acb，且c>d，那么a+c>b+d⑨同号可倒：⑧乘：a>b，c>d?a+c>b+d如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bda>b>0，c>d>0?ac>bd若a>b,ab>0,则注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可⑴对一个不等式的运算(变形)2.运算性质3.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：(调和平均值)(几何平均值)(幂平均值)(算数平均值)当且仅当a=b=c时，“=”成立(当且仅当○=□时等号成立)□2+○2≥±2□○若a,b,c∈R+,则3333222当且仅当□=○时等号成立二元的均值不等式若□,○∈R+,则21□○1+□○2□○+≤□2+○2注1：使用前提是正数当且仅当等相连放缩消元变结构应用特例求最值注2：与对号函数的关联或注3：即12三角形(绝对值)不等式|□1±□2±□3……□n|≤|□1|+|□2|+|□3|+……+|□n||□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|注1.放缩换序增减号特例消元求最值注2.拍扁三角取等号同号异号是关键“＝”成立的条件：①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”②中间“－”时,右侧取“=”的条件是“□○≤0”左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|”左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”13柯西不等式(1)代数式(一般式……)方和积≥积和方(①2＋②2＋③2)≥(①＋②＋③)2高考主要考察的是：二维或三维形式的Cauchy不等式(①2＋②2)≥(①＋②)2(1)代数式(一般式……)(3)三角式：(2)向量式：方和积≥积和方(①2＋②2＋③2)≥(①＋②＋③)2(①2＋②2)≥(①＋②)213柯西不等式Cauchy不等式常见的变形局部Cauchy不等式:(①＋②)≥(①＋②)2(①+②+③)≥(①+②+③)2若，○≥0，则iCauchy不等式的一般式中，，○≥0i，○∈Ri而局部Cauchy不等式中，要求：盖起名为局部的缘由吧和积≥积开和方权方和不等式——分数形式:若，○≥0，则i①③②≥①+②+③①③②≥①＋②＋③Cauchy不等式常见的变形局部Cauchy不等式:和积≥积开和方①代数式(一般式……)方和积≥积和方(①2＋②2＋③2)≥(①＋②＋③)2②局部式:(①+②+③)≥(①+②+③)2若，○≥0，则i和积≥积开和方③权方和不等式(分数式):若，○≥0，则i①③②≥①＋②＋③表述方式虽多但有个共同点：“3串串因式”构成Cauchy不等式需掌握的三个结论14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和真分数的性质(糖水不等式,调日术,插值定理)若,a,b,c,d,m,n＞0,则特例2：若,a,b,m＞0,则特例1：若,a,b,m＞0,则用化学溶液的浓度：解释此不等式，是显然成立的注：真分数的分子分母加同一正数后其值要放大伯努利不等式参《选修4-5》P：51～52ⅰ:若x＞-1,且α≤0或α≥1，则ⅱ:若x＞-1,且0≤α≤1，则(当且仅当n=1时等号成立)如果x是实数,且x＞-1,x≠0,且n为大于1的自然数,则注：伯努利不等式常见的推论：ⅲ:若xi＞-1,则①设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生(Jensen)不等式,有当且仅当时取等号②设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数,有当且仅当时取等号lnx(泰勒)不等式与数列不等式(1).“半成品”辅助函数的衍变大多数是(2).令，由迭加法可得(3).令，由迭加法可得二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角不等式线性规划四成立……解不等式①常见题型函数思想……②常见解法①常见题型形法数法“纯”不等式法函数法函数图象线性规划其他图象解不等式③一般的，不等式解集的端点值是方程的根解整式不等式1.一元一次不等式ax+b0的解法：……2.一元二次不等式ax2+bx+c0的解法：(1)公式(口诀)法：(2)其他法：口诀1：大于号要两头小于号要中间口诀2：一正二方三大头无根大全小为空①图象(标根)法：一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质③配方法：……②因式分解法：……1.一元一次不等式ax+b0的解法：……2.一元二次不等式ax2+bx+c0的解法：(1)公式(口诀)法：(2)其他法：……口诀1：大于号要两头小于号要中间口诀2：一正二方三大头无根大全小为空3.一元n次不等式a0+a1x+a2x2+…+anxn0的解法：图象(标根、穿针引线)法一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质解整式不等式解分式不等式1.“左右”去分母法：2.“上下”去分母法：若,则或○○注：要特别留意“＝”问题：分母≠○，分子可以为○……一、解不等式组二、解连不等式五、解根式不等式四、解抽象不等式§63解不等式(二)三、解绝对值不等式数形结合“或”字型书写格式整体观一、解不等式组(1).解不等式组解：因即解得故所求解集为≤01.通法:“截”成不等式组二、解连不等式:2.特法:左右是常数时，可变形成高次不等式f(x)＜g(x)＜h(x)a＜f(x)＜bf(x)＜g(x)g(x)＜h(x)[f(x)－a][f(x)－b]＜0一、解不等式组:数法形法三、解绝对值不等式：①几何意义法②辅助函数图象法③公式法④零点分段法⑤平方法⑥换元法⑦增号法去号法注.单绝对值不等式：公式法为宜②|f(x)|＞g(x)f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x)?①|f(x)|＜g(x)－g(x)＜f(x)＜g(x)?①|f(x)|＜g(x)－g(x)＜f(x)＜g(x)(2)解不等式|5x－6|<6－x解：由题意得－(6－x)＜5x－6＜6－x故所求解集为{x|0＜x＜2}即0＜x＜2即－(6－x)＜5x－65x－6＜6－x即x＞0x＜2(3)《选修4-5》P：17例5解不等式法1：零点分段法i:当x≤-2时，有-(x-1)-(x+2)≥5,解得x≤-3综上x∈（-∞，-3]∪[2,+∞）iii:当x≥1时，有(x-1)+(x+2)≥5,解得x≥2ii:当-2＜x＜1时，有-(x-1)+(x+2)≥5,即3≥5,舍解：(书写格式1)当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi时等号成立
已知≤≤≤…≤,≤≤≤…≤
若…,是…,的任意一个排列,
则称为乱序和
称为反序和
称为顺序和
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