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1 “万能”的有限元 在结构分析领域，有限元法是目前应用最为广泛的数值方法。按照未知数的特性划分，有限元法分为位移法、力法和混合法，其中位移法因其高度的灵活性和适应性、强大的模拟能力和求解能力，成为主要的结构分析方法。 桥梁结构分析属于结构分析家族中的一员，当然离不开有限元法(图1)。目前从桥梁的设计计算到施工模拟计算、从理论研究到应用研究，都高度依赖有限元法。可以说，有限元法于桥梁结构分析而言，近乎于“万能”的。有限元法对桥梁工程技术人员如此重要，如同一个忠实的仆人，每天为你服务。但你对她真的很熟悉吗？你知道她也有强烈的个性吗？你如果不尊重她的个性，她就会悄悄地给你设置陷阱，让你吃过期的食品或者给你用假冒伪劣商品。 在对桥梁结构进行有限元建模时，首先要了解桥梁结构分析的理论，了解有限元法原理和特性，只有这样才能建立一个能够反映结构实际特征、符合力学原理的有限元数值模型。忽略力学原理，只把结构计算当作一堆没有物理意义的数字对待，这是目前不少学生容易犯的毛病。本文拟对常规的桥梁结构有限元建模进行讨论，主要讨论其中一些容易被忽略的问题以及建模中的技巧，供大家参考。为了简单，以下均以平面单元和梁单元为例，对于其他单元，其原理是一样的。 （a） （b） （c） 图1 桥梁结构有限元分析（图片a、b引自互联网） 2 问题一：有限元法是一个精确的方法吗？ 有些学生和年轻工程师在使用有限元软件的初期，容易有一个潜意识里的错误认识，即认为有限元是一个精确的分析方法。 有限元是一个强有力的、有较高精度的数值方法，但并不是一个精确的方法。简单回顾一下有限元法理论，就能容易地知道这一点。下面以位移法有限元为例来说明。 有限元法是把连续的（具有无穷多个质点的）求解域划分为含有有限个子域（单元）的离散网格形式（见图2）。这些单元之间通过有限数量的网格节点相互连接，用这些离散的节点处的位移表征实际结构中连续的位移场。在这些节点上，位移是连续的，但位移的各阶导数并非都是连续的，取决于节点位移未知数中是否包含这些导数。这是有限元法的第一个近似之处。在单元内部，由于不知道真实的位移场函数，所以有限元法采用近似的数学表达式（如多项式）通过节点位移进行插值来描述，该表达式称为插值函数。这是第二个近似之处。在节点之间的连续边界上，位移及其各阶导数是否连续则取决于单元位移模式和插值函数的形式，一般最多使一阶导数连续。这是第三个近似之处。 图2 有限元网格 在位移法有限元中，采用能量原理建立以节点位移为基本未知数的平衡方程组，所以求解有限元问题归结为求解一个大型线性方程组的问题（即使对于非线性问题，在进行每一迭代步或者增量步求解时，也是一个线性的方程组）。该线性方程组一般为式（1）所示的形式。其中[K]为方程组的系数矩阵，称为总刚度矩阵，{δ}为方程组的基本未知数，即结构的节点位移列向量，{P}为荷载列向量。方程组可能含有成千上万乃至几百万个未知数，那么由于计算机中数字的字长（通俗地说就是有效数字位数）是有限的，因此在求解过程的大量计算中，会由于舍入误差而产生计算误差，这是第四个近似之处。这些只是有限元法本身的近似之处，还不包括力学理论、模型与实际结构差异、计算参数与实际结构差异等引起的误差。 上面的描述虽然不太严谨，但已经能够清楚地看出，有限元法是一种近似的数值方法，是有误差的方法。 3 问题二：单元网格划分及相邻单元刚度 如上所述，既然有限元是一种离散的、近似的数值方法，那么她的计算精度显然跟网格的划分密切相关，并非随便怎么划分都能得到准确的结果。 网格密度：这是个经验性的东西，当没有经验可借鉴时，则需要通过不同网格化分的数值计算比较（也有称之为数值试验的）来确定。虽然从纯理论上说网格越密，计算结果越逼近精确解，但过密的网格会导致计算量加大，也会增加舍入误差。所以实际计算并不是网格越密越好。而网格过稀则同样会导致计算精度的降低。 单元的形状：如上所述，单元内部的位移场是用节点位移通过插值函数来近似表达的。以一个平面四边形单元为例，如图3a、b所示，如果要在平面内的两个方向上通过插值得到对位移场较好的近似，显然单元应该尽量接近正方形，而不能过于歪斜。如果采用图3c所示形状的单元，则插值出来的位移场跟实际会有较大的偏差，从而导致较大的计算误差。 图3 四边形单元 单元的尺度：首先讨论相邻单元之间的相对尺度。式（1）中的总刚度矩阵[K]是由各单元的刚度矩阵叠加得到的，而各单元刚度矩阵则与单元的几何构形、材料特性以及插值函数等相关。如果相邻单元的尺度相差过大，就会使相邻单元刚度矩阵的数值相差悬殊，因而导致系数矩阵[K]中相邻的元素数值相差过大。当这种差别的量级接近计算的有效数字位数时，就会使方程组成为数学上的所谓病态方程，从而使计算结果产生误差，严重的病态方程会得出完全错误的结果。因此，应注意，相邻单元尺度不能相差过大，要逐步过渡。有限元软件一般采用8字节长度的浮点数字，按十进制大约有15位有效数字。因此，一般不过于悬殊的尺寸差别（比如梁单元长度相差10倍以内）不会导致太大的误差。 相邻单元材料的弹性模量：这是最容易导致病态方程的问题。有时为了刚性连接两个节点，就在这两个节点之间设置一个弹性模量比常规单元材料高十几个甚至几十个数量级的单元。这会导致严重的病态方程和错误结果。所以请注意，不要使相邻单元刚度相差过大。 4 问题三：何为主从节点和刚臂？ 在很多有限元软件中，都有所谓的主从节点和带刚臂单元，利用它们可以模拟很多结构的连接和特殊构造，这在下面各节的讨论中会看到它们的用途。那么它们究竟是什么工作原理呢？ 主从节点：如图4所示，设有两个节点jA和jB，二者可以坐标相同（即位置重合），也可以相距一段距离(Lx, Ly)。如果节点jB的部分位移{dB}不是独立的，而是跟jA的对应位移{dA}直接相关（即如果知道了{dA}，就可以求得{dB}）。这时就称这两个节点为主从节点，其中jA称为主节点，jB称为从节点，{dA}与{dB}则称为有主从关系的自由度。根据线性方程组的特性，必须在式（1）中去掉不独立的未知数{dB}及其对应的方程，否则方程组就没有解。假如在有限元软件里面不考虑主从节点之间的距离效应，处理方法就是直接令{dB}={dA}。如果考虑这种距离效应，就必须考虑主从节点间转动与平动的相互关系。 图4 主从节点 （图中两个节点之间的水平位移有主从关系） 带刚臂单元：图5所示为一个平面梁单元，在其两端i’和j’处各带有一个刚度无穷大的刚臂i’-i和j’-j。单元是通过刚臂与节点i和j相连接的，而不是梁端点直接连接节点。这样的单元就叫作带刚臂单元。此时i和j是整个有限元模型中的独立节点，它们的位移是独立的未知数。而i’和j’不是独立节点，它们只是带刚臂单元的内部端点。显然，它跟普通梁单元不同之处在于多了刚臂，因此在每个刚臂的两端（i’与i，j’与j）之间的转动与平动相互关联。例如，不但i的平动会引起i’的平动，i的转动也会引起i’的平动，反之亦然。 图5 带刚臂单元 5 问题四：如何模拟连续梁/刚构的墩梁连接部位？ 如图6a所示，节点jB为连续梁支点处的节点，位于梁轴线上，节点jP为对应的桥墩顶部节点。显然jB与jP间距离hBP为梁轴线到其下缘的距离加上支座高度。要正确模拟这种连接，有三种方法可供使用： 1）在两个节点之间设置一个刚度较大的单元（图6b中的eP1）。为避免重复计算重量，该单元自重应该设为零。同时该单元刚度应该比对应的桥墩单元大（1~3个数量级），但不能过大，否则会出现前面说的病态问题。如果墩梁之间是铰支座，那么在点jP处应该设置两个坐标重合且具有主从关系的节点jP1和jP2（图6b），其中jP1为单元eP1的下端，jP2为单元eP2的上端。如果是连续刚构，则只用一个节点jP作为上下单元eP1和eP2的公共节点即可； 图6 墩梁连接部位模拟 2）采用考虑了距离效应的主从节点模拟。如可把jP作为主节点，jB作为从节点，二者之间的所有自由度都有主从关系（连续刚构），或者2个平动自由度有主从关系（固定铰支座），或者只有竖向自由度有主从关系（活动铰支座）。这时要特别注意不同的软件对距离效应的处理方式是不同的； 3）采用带刚臂单元模拟（图6c），这种情况只适合连续刚构。eP2为上端jP带有一个刚臂的单元，连接到主梁节点jB。注意此时的jP不再是一个独立的节点（相当于图4中的i’或者j’）。 在计算梁拱组合体系桥梁时，拱肋在拱脚处跟主梁的连接部位与上面的梁墩连接类似，也可以用前述的方法进行模拟。 6 问题五：如何模拟斜拉索锚固点？ 多数斜拉桥的索-梁及索-塔锚固点坐标都跟梁轴线或者塔轴线不重合，即都具有偏心距，如图7所示。此时斜拉索的拉力除了对梁或塔施加一个索轴线方向的拉力外，还会有一个附加力矩（拉力乘以偏心距）。这种附加力矩对结构的影响不可忽视，所以不能简单地把锚固点直接搬到梁轴线或者塔轴线上。正确的模拟应该是把斜拉索也作为带刚臂的索单元，通过刚臂连接到梁及塔的轴线上（见图7）。
图7 斜拉索偏心距模拟 未完待续… 作者简介：李乔，西南交通大学教授，博士生导师，茅以升桥梁研究所所长，在中国公路学会桥梁分会等学术组织任常务理事或理事，在土木工程学报等重要学术期刊任编委会委员。 |
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