第页高考调研·高三总复习·数学（理）第3课时函数的单调性和最值 第页高考调研·高三总复习·数学（理）…2018考纲下载…
1．理解函数的单调性及其几何意义．会运用函数图像理解和研究函数的性质．会求简单函数的值域理解最大(小)值及几何意义．请注意函数的单调性是函数的一个重要性质几乎是每年必考的内容例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式
课前自助餐
单调性的定义(1)单调函数的定义增函数 减 定义 一般地设函数(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x 当x时都有f(x)f(x2)，那么就说函数(x)在区间D上是减函数单调性与单调区间密不可分单调区间是定义域的子区间．
(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手也可以从导数入手．①利用定义证明单调性的一般步骤是a.且x计算(x1)－f(x)并判断符号结论．设y＝(x)在某区间内可导若f(x)≥0，则(x)为增函数若f(x)≤0，则x)为减函数(f(x)不恒等于零)．
与单调性有关的结论(1)若(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数则(x)＋(x)为某区间上的增(减)函数．(2)若(x)为增(减)函数则－(x)为减(增)函数．(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数若(x)与(x)的单调性相同则y＝f[g(x)]是增函数．若(x)与g(x)的单调性相反则y＝f[g(x)]是减函数．
(4)奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反．(5)若函数(x)在闭区间[a]上是减函数则(x)的最大值为f(a)最小值为f(b)值域为[f(b)(a)]．函数的最值设函数y＝(x)的定义域为I如果存在实数M满足：①对于任意x∈I都有(x)≤M，②存在x使得f(x)＝M那么称M是函数y＝(x)的最大值；类比定义y＝(x)的最小值．一些关于函数单调性的结论(1)f(x)是增函数x2，>0??x1≠x2，(x1－x)[f(x1)－f(x)]>0.
(2)f(x)在某区间内可导(x)是增函数则f(x)≥0；(x)是减函数则f(x)≤0(f′(x)不恒等于0)．(3)?x1>x2，>a?f(x1)－ax(x2)－ax(设g(x)＝(x)－ax)(x)≥0恒成立(g(x)不恒等于0)．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)函数y＝|x|是R上的增函数．(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞)∪(0，＋∞)．
(3)若函数y＝(x)在[1＋∞)上是增函数则函数的单调递增区间是[1＋∞)．
(4)对于函数(x)，x∈D，若对任意x且(x－x)[f(x1)－f(x)]>0，则函数(x)在区间D上是增函数．(5)已知函数y＝(x)在R上是增函数则函数y＝(－x)在R上是减函数．
答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√
2．(课本习题改编)已知(x)＝－2x＋x[－1]，则其单调递减区间为________；(x)min＝________．
答案[]－15
3．(2018·上海奉贤区期末调研)下列函数在(0)上为减函数()＝．＝2＝＝
答案解析y＝在(0)上为减函数在(0)也为减函数；y＝2在R上为增函数；y＝在(0)上为增函数在(0)也为增函数；y＝0，)上为增函数在(0)也为增函数．故选
4．(2018·衡水中学调研卷)若函数(x)＝x－2x＋m在[3＋∞)上的最小值为1则实数m的值为()－3．－2－1．
答案解析∵(x)＝(x－1)＋m－1在[3＋∞)上为单调增函数又(x)在[3＋∞)上的最小值为1(3)＝1即3＋m＝1＝－2.故选5．(1)函数y＝的单调递减区间是__________；(2)函数y＝的单调递减区间是________．
答案(1)(－∞－1)(－1，＋∞)(2)(－1]
解析(1)∵y＝＝－1＋当1＋x＞0或1＋x＜0时此函数均为减函数故减区间为(－1＋∞)(－∞－1)．(2)由得x∈(－1]，此即为递减区间．
6．函数y＝＋的最小值是________．
答案2解析由得x≥0.又函数y＝＋在[0＋∞)上是增函数所以函数的最小值为＋＝2.
授人以渔
题型一单调性的判断与证明
(1)判断函数(x)＝ex＋－x在区间(0＋∞)上的单调性
【解析】方法一：设0
方法二：对(x)＝＋－x求导得(x)＝－－x＝－x(－1)．当x∈(0＋∞)时有－x－1>0此时(x)>0.∴函数(x)＝＋－x在区间(0＋∞)上为增函数．【答案】增函数证明略
(2)已知a>0函数(x)＝x＋(x>0)证明：函数(x)在(0]上是减函数在[＋∞)上是增函数．
【解析】证明：设x是任意两个正数且x则f(x)－f(x)＝(x＋)－(x＋)＝(x－a)．当00，即f(x)>f(x2)．所以函数(x)在(0]上是减函数；当1
★状元笔记★
(1)判断函数的单调性有三种方法：图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法．(2)证明函数的单调性有两种方法：定义法；②导数法．
思考题1(1)试判断函数(x)＝在(0＋∞)上的单调性并加以证明．
【解析】(x)＝x－＝－在(0＋∞)上单调递增且y＝x在(0＋∞)上单调递增．函数(x)＝在(0＋∞)上单调递增．
【证明】方法一：设0x1>0，∴x1－x＋x＋(x1)－f(x)<0，即f(x)0时(x)>0，故(x)在(0＋∞)上为增函数．【答案】增函数证明略
(2)将例1(2)中的“x>0”改为“x<0”后试判断函数(x)的单调性并证明．
【证明】略【答案】(x)在(－∞－]上是增函数在[－)上是减函数．
题型二求函数的单调区间
求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝|x－4|；(2)f(x)＝(3－2x－x)；(3)f(x)＝x－
【解析】(1)∵(x)＝其图像如图所示
所以函数(x)的增区间为[－2]，[2，＋∞)；减区间为(－∞－2][0，2]．
(2)令u＝3－2x－x则(x)＝u.
∵u>0，∴－3
(3)由题意得x>0.y＝1－＝(0，1) 1 (1，＋∞) y－ 0 ＋由上表可知函数的单调递增区间为(1＋∞)单调递减区间为(0)．【答案】(1)单调递增区间为[－2]，[2，＋∞)单调递减区间为(－∞－2][0，2]
(2)单调递增区间为[－1)，单调递减区间为(－3－1](3)单调递增区间为(1＋∞)单调递减区间为(0)
★状元笔记★
求函数的(1)利用已知函数的单调性即转化为已知函数的和、差或复合函数求单调区间．(2)定义法：先求定义域再利用单调性定义．(3)图像法：如果(x)是以图像形式给出的或者(x)的图像易作出可由图像的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间依据是“同增异减”．(6)求函数单调区间
思考题2求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝－x＋2|x|＋3；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝3x－6
【解析】(1)∵(x)＝其图像如图所示
所以函数y＝(x)的单调递增区间为(－∞－1]和[0]；单调递减区间为[－1]和[1＋∞)．
(2)∵3－2x－x－31单调递增区间为(1由y得0
【答案】(1)单调递增区间为(－∞－1]和[0]；单调递减区间为[－1]和[1＋∞)(2)单调递减区间为(－3－1]单调递增区间为(－1)
(3)单调递增区间为(1＋∞)单调递减区间为(0)
题型三单调性的应用(微专题)
1：利用单调性求最值
(1)函数(x)＝在区间[1]上最小值为________
【解析】(x)＝－2－1由于y＝＝－2－1在[1]上均单调递减故(x)在[1]上单调递减(x)min＝f(2)＝－2＝－【答案】－(2)求函数y＝的最大值．
【解析】令＝t则t≥2＝t－4＝＝设h(t)＝t＋在[2＋∞)上为增函数(t)min＝h2)＝＝即y最大值为【答案】
★状元笔记★
(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法特别是当函数图像不易作出时单调性法几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系：若函数在a，b]上是减函数则(x)在[a]上的最大值为f(a)最小值为f(b)；若函数在闭区间[a]上是增函数则(x)在[a]上的最大值为f(b)最小值为f(a)．
思考题3(1)求函数y＝x－的最大值．
【解析】∵定义域为(－∞]，
而y＝x－在(－∞]上为单调增函数．当x＝时＝【答案】(2)函数(x)＝3x＋[1，2]的值域为______．
【解析】方法一：(x)＝3(x＋)易证(x)在[＋∞)上是增函数．(x)在[1]上为增函数从而得值域为[5]．方法二：f(x)＝3－当1≤x≤2时(x)＞0(x)在[1]上为增函数又f(1)＝5(2)＝7.(x)＝3x＋[1，2]的值域为[5]．【答案】[5]
微专题2：(1)已知函数(x)＝－x|x|(－1)，求不等式f(1－m)
【解析】(x)＝(x)在(－1)上单调递减
解得0
(2)已知函数y＝(6－ax＋x)在[1]上是增函数求实数a的取值范围．
【解析】设u＝6－ax＋x＝u为减函数函数u在[1]上是减函数＝6－ax＋x对称轴x＝≥2，且u>0在[1]上恒成立．解得4≤a<5实数a的取值范围是[4).
【答案】[4)
★状元笔记★
(1)在求解与抽象函数有关的不等式时往往是利用函数的单调性将“f”符此时应特别注意函数的定义域．(2)利用单调性求参数时通常要把参数视为已知数依据函数的图像或单调性定义确定函数的单调区间与已知单调区间比较求参数．
思考题4(1)函数(x)＝是R上的增函数求a的取值范围．
【解析】由题意解得－3≤a≤－2.【答案】－3≤a≤－2
(2)若存在正数x使2(x－a)<1成立则a的取值范围是________．
【解析】由题意可得－()x(x>0)．令(x)＝x－()该函数在(0＋∞)上为增函数可知(x)的值域为(－1＋∞)故a>－1时存在正数x使原不等式成立．【答案】(－1＋∞)
(3)已知函数y＝(2－ax)在[0]上是减函数则实数a的取值范围是________．
【解析】设u＝2－ax且a≠1函数u在[0]上是减函数．由题意可知y＝在[0]上是增函数又∵u在[0]上要满足u>0得a<2.综上得1
1．单调区间是定义域的子区间求单调区间、定义域优先．熟记各基本初等函数的单调区间是求单调区间的前提、基础．对于对勾函数y＝x＋(a>0)单调递增区间：(－∞－][，＋∞)；单调递减区间：[－)，(0，]．函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“隔开不能用“∪”符号连接．
5．若(x)具有对称轴x＝a则在x＝a两侧的对称区间上(x)具有相反的单调性；若(x)具有对称中心(a)，则在x＝a两侧的对称区间上(x)具有相同的单函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间上下平移不改变单调区间．
课外阅读
求函数最值的常用方法
配方法配方法是求二次型函数最值的基本方法如(x)＝(x)＋b(x)＋c的函数的最值问题可以考虑用配方法．已知y＝(－a)＋(e－x－a)(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．
【思路】将函数表达式按＋－x配方转化为关于变量＋－x的二次函数．【解析】y＝(－a)＋(－x－a)＝(＋－x)－2a(＋x)＋2a－2.令t＝＋－x(t)＝t－2at＋2a－2.(t)＝t－2at＋2a－2＝(t－a)＋a－2的定义域为[2＋∞)．
∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a当a≤2且a≠0时＝f(2)＝2(a－1)；当a>2时＝f(a)＝a－2.【讲评】利用二次函数的性质求最值要特别注意自变如本题化为含参数的二次函数后求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系然后再根据不同情况分类解决．
换元法换元法有两类即代数换元和三角换元我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a＋b＝1及部分根式函数形式的最值问题．
(1)函数(x)＝x＋2的最大值为________．
【解析】设＝t(t≥0)＝1－t＝x＋2＝1－t＋2t＝－t＋2t＋1＝－(t－1)＋2.当t＝1即x＝0时＝2.
(2)求函数y＝x－的值域．
【解析】换元法：由4－x得－2≤x≤2设x＝2(θ∈[0，π])，则y＝2－＝2－2＝cos(θ＋)＋[，]，
∴cos(θ＋)∈[－1]，∴y∈[－2]．
不等式法主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：＋b(a，b为实数)；≥(a≥0，b≥0)；()2≤(a，b为实数)．
设x为正实数－2y＋3z＝0则的最小值为________．
【思路】先利用条件将三元函数化为二元函数再利用基本不等式求得最值．【解析】因为x－2y＋3z＝0所以y＝所以＝又x为正实数所以由基本不等式得＝3.当且仅当x＝3z时取“＝”．故的最小值为3.故填3.【讲评】本题是三元分式函数的最值问题一般地可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时必须注意“一正二定三相等”特别是“三相等”是我们易忽略的地方容易产生失误．
函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的且多在解答题的某一问中出现．
设a>1函数(x)＝在区间[a]上的最大值与最小值之差为则a＝________．
【思路】先判断函数在指定区间上的单调性再求出函数的最值然后利用条件求得参数a的值．【解析】∵a>1∴函数(x)＝在区间[a]上是增函数函数在区间[a]上的最大值与最小值分别为＝1.∴＝＝4.故填4.【讲评】解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性这是问题的关键．
导数法设函数(x)在区间[a]上连续在区间(a)内可导则(x)在[a]上的最大值和最小值应为(x)在(a)内的各极值与f(a)(b)中的最大值和最小值．利用这种求函数最值的方法就是导数法．函数(x)＝x－12x＋1在闭区间[－3]上的最大值、最小值分别是________．
【思路】先求闭区间上的函数的极值再与端点函数值比较大小确定最值．【解析】因为f(x)＝3x－12所以令f(x)＝0得x＝－2或x＝2(舍去)．又f(－3)＝10(－2)＝17(0)＝1比较得(x)的最大值为17最小值为1.【讲评】①利用导数法求函数最值的三个步骤：第一求函数在(a)内的极值；第二求函数在端点的函数值(a)，f(b)；第三比较上述极值与端点函数值的大小即得函数的最值．②函数的最大值及最小值点必平方法对含根式的函数或含绝对值的函数有的利用平方法可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．已知函数y＝＋的最大值为M最小值为m则的值为()
C. D.
【思路】本题是无理函数的最值问题可以先确定定义域再两边平方即可化为二次函数的最值问题进而可以利用二次函数的最值解决．【解析】由题意得所以函数的定义域为{x|－3≤x1}．两边平方得y＝4＋2
＝4＋2
所以当x＝－1时取得最大值M＝2；当x＝－3或1时取得最小值m＝2选【讲评】对于形如y＝＋的无理函数的最值问题可以利用平方法将问题化为函数y＝(a＋b)＋的最
数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法．对a记＝函数(x)＝1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
【思路】本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数再利用数形结合法求解．【解析】由|x＋1|≥|x－2|得(x＋1)(x－2)所以x≥所以(x)＝其图像如图所示．
由图像易知当x＝时函数有最小值所以(x)min＝f()＝|＋1|＝
线性规划法线性规划法求解最值问题一般有以下几步：①由已知写出约束条件；②画出可行域并求最优解；③根据目已知点P(x)的坐标同时满足以下不等式：x＋y≤4如果点O为坐标原点那么|OP|的最小值等于________最大值等于________．
【思路】本题实质上可以视为线性规划问题求解时先找出约束条件再画可行域最后求出最值．【解析】由题意得点P(x)的坐标满足画出可行域如图所示．由条件得A(2)，|OA|＝2；(1，3)，|OB|＝；(1，1)，|OC|＝故|OP|的最大值为最小值为 |
|
