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试题呈现  思路初探 拿到本题，估计很多同学一时都会懵的，点P，点E，点F的位置都不确定，三个动点，还要求三条不定线段和的最值，太难了吧． 怎么办，我们要学会把未知问题与已学知识联系起来！不知同学们在碰到此题时，是否会想起初二学习轴对称内容时肯定遇到过的这样一个问题： 如图，在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．  分析： 这是在学习完将军饮马问题后的一道经典题，点A确定，点B，点C未确定，是典型的一定两动问题． 我们可以这样思考，若点C位置确定，要求AB＋BC最短，同学们肯定已经知道，作点A关于OM的对称点A'，连接A'C即可；而若点B位置确定，要求AC＋BC最短，则作点A关于ON的对称点A''，连接A''B即可．而现在点B，点C位置都不确定，怎么办？ 作两次对称！分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？ 解答： 如图，作点A关于OM的对称点A'， 作点A关于ON的对称点A''，连接A'A''，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．  继续思考 假如题目再变！怎么做？ 如图，连接OA，若∠MON＝30°，OA＝4，求△ABC周长的最小值．  解析： 要求△ABC周长的最小值，你自然会想到就是求A'A''的长度，怎么考虑？如何把∠MON＝30°，OA＝4的条件用起来？ 既然是轴对称，再找找有没有和OA有联系的线段呢？马上想到连接OA'，OA''，因为OA＝OA'＝OA''，而∠MON＝∠MOA＋∠NOA＝30°，由对称性知，∠MOA'＝∠MOA，∠NOA''＝∠NOA，∴∠A'OA''＝60°，则△A'OA''是等边三角形，A'A''＝4，即所求△ABC周长的最小值为4． 解答：  恍然大悟 那么，回到文章开头的这道题，显然的，本题只需要作点P关于AB的对称点P'，关于AC的对称点P''，连接P'P''，与AB交于点E，与AC交于点F，连接PE，PF，AP，AP'，AP''，PE＋EF＋FP＝P'P''，  如何求其最小值呢？我们先来看一个动态图演示：  点P是圆弧上的动点，点A是定点，要求定点与动点相连线段的最值，我们可以尝试再找一个定点，看看其能不能与已知的定点，动点构造定线段，利用定线段长度之和或之差求解，此时，自然想到点P所在圆弧所对的圆心，我们不妨设为点O．顺便把这个辅助圆补出来，如下图！ 显然，AP≥AO－PO，当A，P，O三点共线时，可取等号，即此时AP最短． 解答：   反思总结 题目解完了，我们回顾整个过程，发现其中经历了几次思路的变化： 第一次，由角内部一点到角的两边各取一点构成三角形周长的最小值，想到作两次对称，连接两个对称点的线段即为较短线段． 第二次，联想到点P变化过程中的不变量，AP不变，则分别将两个对称点与点A连接，想到这是一个顶角120°已确定的等腰三角形，求其底边的最值． 第三次，联想到，只需求腰的最值，即只要求AP长的最值，自然而然想到将隐形圆补全，利用三角形三边关系去求解． 这三次思路的变化，环环相扣，一旦有哪里没想到，就做不下去了，不愧是一道难题！ 当然，如果你暑假已经开始刷中考卷的话，那么也许你会看到此题的原型，本题改编自2018年陕西省中考试题的压轴题的压轴问！现将题目与解答贴出来，大家有兴趣不妨做个研究！
未完待续 但是标题既然是初二初三特辑，三线段最值问题，有没有适合初二学生做的呢？ 有，我们来看这样一道尺规作图题． 如图，∠AOB＜30°，点P是∠AOB的边OA上一点，在射线OA上找一点N，在射线OB上找点M和点Q，使PM＋MN＋NQ最小，要求：尺规作图，保留作图痕迹． 尝试解答 分析： 本题的点P确定，M，N，Q不定，这又是一个一定三动问题，怎么办呢？ 继续从已做过的题找灵感，不知这题你是否还记得？笔者曾把它放在初二期中复习的专题《【八上期中】 专题复习： 将军饮马类题型全覆盖》中！ 如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值． 解析： 这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑． 作点C关于OB的对称点C'，点D关于OA的对称点D'，连接C'D'． CF＋EF＋DE＝C'F＋EF＋D'E，当C'，F， E，D'四点共线时，CF＋EF＋DE＝C'D'最短．易知∠D'OC'＝90°，OD'＝12，OC'＝5，C'D'＝13，CF＋EF＋DE最小值为13． 大彻大悟 回到这道尺规作图题，点P既然在OA上，必然是要作对称的，而且只能作其关于OB的对称点P'，而最后点Q要在OB上，只能作关于OA的对称点Q'，马上就应该想到连接P'Q'，则显然N，M就是其与OB，OA的交点，此时，三线段之和较短，而要使其最短，则需再满足P'Q'与OB关于OA的对称射线OB'垂直！ 解答： 期中考试已经落下帷幕，无论考的如何，都已成为过去，接下来，继续努力吧！ |
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