第五章相交线与平行线的复习课一、学习目标1、进一步巩固邻补角、对顶角的概念和性质2、理解垂线、垂线段的概念和性质3、掌握两条直线平行的判定
和性质4、通过平移，理解图形平移变换的性质5、能区分命题的题设和结论以及命题的真假邻补角邻补角互补两条直线相交一般情况对顶角相等对
顶角相交线存在性和唯一性特殊垂直知识构图点到直线的距离垂线段最短两条直线被第三条所截同位角、内错角、同旁内角平行线的判定平行线的性
质平行公理及其推论两条平行线的距离平行线命题、定理平移平移的特征1.互为邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公
共边的两个角是邻补角.如图(1)21(1)3214(2)2.对顶角:(1)两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公
共边的两个角是对顶角。如图(2).(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。3.邻补角的性质:同角
的补角相等。4.对顶角性质:对顶角相等。n条直线相交于一点，就有n(n-1)对对顶角。两个特征:(1)具有公共顶点;(2)角
的两边互为反向延长线。解:设∠AOC=2x°,则∠AOD=3x°D因为∠AOC+∠AOD=180°A所以2x°+3x°=180°解
得x=36°OB所以∠AOC=2x=72°C∠BOD=∠AOC=72°答:∠BOD的度数是72°在解决与角的计算有关的问题时，经
常用到代数方法。例2.已知直线AB、CD、EF相交于点O，解:因为直线AB与EF相交与点ODE所以∠AOE+∠BOE=180°O因
为∠AOE=36°AB所以∠BOE=180°-∠AOECF=180°-36°=144°因为∠DOE=90°所以∠AOD=∠AOE+
∠DOE=126°又因为∠BOC与∠AOD是对顶角所以∠BOC=∠AOD=126°垂线1.垂线的定义:两条直线相交，所构成
的四个角中，有一个角是90°时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。2.垂线的性质:(
1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(2):直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简称:垂线段最短。3.点到
直线的距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与
直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指垂线段的长度，是指一个数量，是有
单位的。EC┓OBAD此题需要正确地应用、对顶角、邻补角、垂直的概念和性质。CBDAO由垂直先找到90°的角，再根据角之间的关系求
解。例3:如图,要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由。理由:垂线段最短∟C
例4:你能量出C到AB的距离,B到AC的距离,A到BC的距离吗?FECADB例5:你能画出ABC三点到对边的垂线吗？思
考：三角形的三条垂线有什么特点？三角形的三条垂线都交于一点；锐角三角形的三条垂线交点在三角形的内部；直角三角形的三条垂线交点在直角
顶点；钝角三角形的三条垂线交点在三角形的外部；CBAD在如图所示的三角形中,说出下列点到线段的距离分别是哪一条线段的长度点A到线段
BC的距离AC点C到线段AB的距离CD点B到线段AC的距离BCBD是点＿到线段＿＿的距离CDB平行平行线的概念:在同一平面
内,不相交的两条直线叫做平行线。2.两直线的位置关系:在同一平面内，两直线的位置关系只有两种:(1)相交;(2)平行。3.
平行线的基本性质:(1)平行公理(平行线的存在性和唯一性)经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。(2)推论(平行
线的传递性)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。4.同位角、内错角、同旁内角的概念同位角、内错角、同旁内角
，指的是一条直线分别与两条直线相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置关系。它们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。EC
317B5DA4286F1、同位角的位置特征是:(1)在截线的同旁，(2)在被截两直线的同方向。2、内错角的位置特征是:(2)在被
截两直线之间。(1)在截线的两旁，3、同旁内角的位置特征是:(1)在截线的同旁，(2)在被截两直线之间。截线三线八角被截线bCE1
aBA342CDF判定两直线平行的方法有三种:(1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。(2)传递法;两条直线都和第三条
直线平行,这两条直线也平行。(3)因为a⊥c,a⊥b；所以b//c(4)三种角判定(3种方法):同位角相等,两直线平行。内错角相
等,两直线平行。同旁内角互补,两直线平行。在这六种方法中，定义一般不常用。2211练一练如图中的∠1和∠2是同位角吗?
为什么?∠1和∠2是同位角，∠1和∠2不是同位角，∵∠1和∠2有一边共线、同向∵∠1和∠2无一边共线。且不共顶点。例1.∠1与
哪个角是内错角？答：∠DAB∠1与哪个角是同旁内角？答：∠BAC,∠BAE,∠2∠2与哪个角是内错角?答：∠EACDA
E12BC例2.已知∠DAC=∠ACB,∠D+∠DFE=1800,求证:EF//BCDF证明:∵∠DAC=∠ACB
(已知)C∴AD//BC(内错角相等,两直线平行)B∵∠D+∠DFE=180°(已知)EA∴AD//EF(同旁内角互补
,两直线平行)∴EF//BC(平行于同一条直线的两条直线互相平行)两直线平行平行线的性质结论条件夹在两平行线间的垂线段的长度,
叫做两平行线间的距离。同位角相等内错角相等同旁内角互补结论条件平行线的判定同位角相等两直线平行内错角相等同旁内角互补DE1ACB2
F4、操作与解释：数学课上有这样一道题：“如图，以点B为顶点,射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC=∠A，EB与AD一
定平行吗？”。小王说“一定平行”；而小李说“不一定平行”。你更赞同谁的观点？CB1E324FA5、探索与思考：有一条直的等宽纸带，
按如图所示折叠时，∠1=30°求纸带重叠部分中∠CAB的度数。BAFE13l24CD已知：AB∥CD。试探索①∠A、∠C与∠AEC
之间的关系；②∠B、∠D与∠BFD之间的关系。几何之旅EAB134CD2F例1.如图已知：∠1+∠2=180°，求证
：AB∥CD。证明：由：∠1+∠2=180°(已知)∠1=∠3（对顶角相等)∠2=∠4（对顶角相等)所以∠3+∠4=180°(等量
代换)AB//CD.(同旁内角互补，两直线平行)例3.已知EF⊥AB，CD⊥AB，∠EFB=∠GDC，求证：∠AGD=∠ACB。
证明：∵EF⊥AB，CD⊥AB（已知）∴EF//CD(垂直于同一条直线的两条直线互相平行)∴∠EFB＝∠DCB（两直线
平行，同位角相等）∵∠EFB=∠GDC（已知）∴∠DCB=∠GDC（等量代换）∴DG∥BC（内错角相等,两直线平行）∴
∠AGD=∠ACB（两直线平行，同位角相等）例4.两块平面镜的夹角应为多少度?如图，两平面镜а、β的夹角为θ，入射光线AO平行
于β入射到а上，经两次反射后的反射光线O''B平行于а，且∠1=∠2，∠3=∠4，则角θ=_____度分析:由题意有OA//β,O''
B∥a且∠1=∠2，∠3=∠4，аB由OA//β,∠1=∠θ1OO‘B∥a,∠4=∠θ,∠2=∠5A2所以∠3=∠4=∠5=∠
θ5θ因为∠3+∠4+∠5=180°34β所以∠3=60°即θ=60°命题1.命题的概念:判断一件事情的句子，叫做命题
。命题必须是一个完整的句子;这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断。两者缺一不可。2.命题的组成:每个命题是由题设、
结论两部分组成。题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……”的形式。或“若……，则……”等形式。
真命题和假命题:命题是一个判断,这个判断可能是正确的,也可以是错误的。由此可以把命题分成真命题和假命题。真命题就是:如果题设
成立,那么结论一定成立的命题。假命题就是:如果题设成立时,不能保证结论总是成立的命题。例1.判断下列语句，是不是命题，如果是
命题，是真命题，还是假命题?画线段AB=2cm直角都相等;两条直线相交，有几个交点?如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。相等
的角都是直角;分析:因为(1)、(3)不是对某一件事作出判断的句子，所以(1)、(3)不是命题。解.(1)、(3)不是命题;
(2)、(4)、(5)是命题;(2)、(4)都是真命，(5)是假命题。例2.如图给出下列论断:(1)AB//CD
(2)AD//BC(3)∠A=∠C以上，其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果……，那么……”的形式，写出一个你认为正确
的命题。DA分析:不妨选择(1)与(2)作条件，由平行性质“两直线平行，同旁内角互补”可得∠A=∠C，故满足要求。由(1)与(
3)也能得出(2)成立，由(2)与(3)也能得出(1)成立。CB解:如果在四边形ABCD中，AB//DC、AD//BC，那么∠
A=∠C。课堂练习1、下列命题是真命题的有（）A、相等的角是对顶角B、不是对顶角的角不相等
C、对顶角必相等D、有公共顶点的角是对顶角E、邻补角的和一定是180度F、互补的两个角一定是邻补角G、两条直线相交,只要其中一个
角的大小确定了那么另外三个角的大小就确定了C、E、G平移1.平移变换的定义:把一个图形整体沿某一方向移动,会得到
一个新图形，这样的图形运动，叫做平移变换，简称平移。平移的特征:(1)平移不改变图形的形状和大小。(2)新图形中的每一点，都是
由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，对应点连结而成的线段平行且相等。决定平移的因素是平移的方向和距离。经过平移，图
形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离。经过平移，对应角相等;对应线段平行且相等;对应点所连的线段平行且相等。例1.在以下生活
现象中,不是平移现象的是站在运动着的电梯上的人左右推动的推拉窗扇小李荡秋千运动躺在火车上睡觉的旅客分析:A、B、D属平移，在一个
位置取两点连成一条线，在另一个位置再观察这条线段，发现是平行的，而C同样取两点连成一条线段，运动到另一位置时，可能已不平行解:
选C例2.如图所示,△ABC平移到△A′B′C′的位置,则点A的对应点是____,点B的对应点是____，点C的对应点是___
_。线段AB的对应线段是___________，线段BC的对应线段是______，线段AC的对应线段是_______。∠BAC的对
应角是________，∠ABC的对应角是_________，∠ACB的对应角是_________。△ABC的平移方向是_____
___________________________________，平移距离是________________________
_____________________。A′B′C′沿着射线AA′(或BB′，或CC′)的方向线段AA′的长A′(或线段BB′
的长或线段CC′的长AB′C′填空题BC2.下列生活中的物体的运动情况可以看成平移的是()（1）摆动的钟摆（2）在笔直的
公路上行驶的汽车（3）随风摆动的旗帜（4）摇动的大绳（5）汽车玻璃上雨刷的运动（6）从楼梯自由落下的球（球不旋转）小结：1、邻补
角、对顶角的概念和性质2、垂线画法、垂线段的性质3、平行线的判定和性质4、命题的题设与结论以及命题的真假5、平移的概念和平移的性质
如图，已知∠1=∠2，直线AC、BE交于B,∠A+∠C=1800,求证：AF//BEFA证明：∵∠1=∠2（已知
）∴BE//CD(内错角相等,两直线平行)又∵∠A+∠C=1800（已知）∴AF//CD(同旁内角互补,两直
线平行)∴AF//BE(平行于同一条直线的两条直线互相平行)BE2１CDC2A（E（（（413BD如图，平行线AB、CD被
直线AE所截，已知∠1=110o，则∠2、∠3、∠4分别是多少度？为什么？答：∠2=110o，因为两直线平行，内错角相等，
∠2=∠1∠3=110o，因为两直线平行，同位角相等，∠3=∠1∠4=180o－110o=70o，因为两直线平行，
同旁内角互补。如图，已知：AD∥BC,∠AEF=∠B,求证：AD∥EF。证明：∵AD∥BC（已知）∴∠A+∠B＝180°
（两直线平行，同旁内角互补）∵∠AEF=∠B（已知）∴∠A＋∠AEF＝180°（等量代换）∴AD∥EF（同旁内角互补，
两条直线平行）例2：如图，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD。求证：∠1＋∠2=90°证明：∵AB∥CD
（已知）∴∠BAC＋∠ACD=180°(两条直线平行，同旁内角互补)又∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD（已知）∴∠1＝
∠BAC,∠2＝∠ACD（角平分线的定义）∴∠1+∠2＝(∠BAC＋∠ACD)（等式的性质）＝×1800＝9
00即∠1＋∠2=900例5：如图，已知：AB∥CD，∠A＝∠C，求证：AD∥BC。证明：∵AB∥CD（已知）∴
∠A＋∠D=180°(两条直线平行，同旁内角互补)∵∠A＝∠C（已知）∴∠C＋∠D=180°（等量代换）∴AD∥B
C（同旁内角互补，两条直线平行）如图2-73。已知：∠1=∠2，AC平分∠DAB，求证：AB∥CD。1AD12EBC8.如图，已知
：AC∥DE，∠1=∠2，试证明AB∥CD.证明：∵由AC∥DE（已知）∴∠ACD=∠2(两直线平行，内错角相等)
∵∠1=∠2（已知）∴∠1=∠ACD(等量代换)∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)巩固提高3.如图所示，
∠1=∠2，∠BAC=20°，∠ACF=80°.（1）求∠2的度数；（2）FC与AD平行吗？为什么？巩固提高4.如图所示，已知∠
1=∠2，∠3+∠4=180°,则a与c平行吗？为什么？巩固提高5.如图所示，如果∠1=47°，∠2=133°，∠D=47°，
那么BC与DE平行吗？AB与CD平行吗？巩固提高6.如图所示，已知∠D=∠A，∠B=∠FCB，试问ED与CF平行吗？巩固提
高7.已知,如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗？试用两种方法说明理由.综合应用如图，∠
BHE与∠BGF互为补角，∠D=∠A．求证：∠B=∠C．问题分析：⑴观察图形中的∠B与∠C具有怎样的位置关系？⑵AB与CD具有怎样
的位置关系时，才能说明∠B=∠C？⑶由已知条件能说明AB与CD平行吗？综合应用如图，∠BHE与∠BGF互为补角，∠D=∠A．求证：∠B=∠C．解：因为∠BHE+∠BGF=180°,∠BHE+∠BHA=180°,所以∠BGF=∠BHA（同角的补角相等）,所以AE//DF(同位角相等，两直线平行）,所以∠A=∠BFD(两直线平行，同位角相等).又因为∠D=∠A，所以∠BFD=∠D,所以AB//CD（内错角相等，两直线平行）.所以∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）.BADC综合应用如图所示，是汽车灯的灯碗的纵切面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB和OC经过灯碗反射后,沿BA和CD方向平行射出，如果∠ABO=46°,∠DCO=48°，求∠BOC．思路点拨：OE构造BA和CD的平行线OE,从而构造出平行线间夹的两对内错角.祝同学们学习进步再见www.QYXK.net中学数学网（群英学科）提供 |
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