数学基本知识：一元函数的微分

对于某一个函数F(x)，下面引入一个相关函数来观察其函数极限

g(x) = (F(x0 + x) - F(x0))/ x

上式中的x0暂视为一个常数。

将上式改写为：

g(x,x0) = (F(x0 + x) - F(x0))/ x

其中g(x,x0)表示此函数含有参数x0（暂视为常数）。

显然，如果F(x)在x=x0点上连续，则g(x,x0)在x=0这个点上是个待定型0/0。若g(x,x0)的x=0点是个可去间断点（即其在此点上的左右极限存在且相等），通过重新定义g(0,x0)使其等于g(x,x0)在此点上的极限，则可得到唯一的值

g(0,x0) = lim[x→0] g(x,x0)

现在，换一种形式表示上式

f(x) = g(0,x) = lim[∆x→0] g(∆x,x) = lim[∆x→0] [(F(x + ∆x) - F(x))/ ∆x]

其中，将原x换成∆x（表示x的一个小的差分量），将x0换成x（视原x0为变量且用x代之）。即

f(x) = lim[∆x→0] [(F(x + ∆x) - F(x))/ ∆x]

这就是通常所用的导函数定义形式。记为

f(x) = d/dx F(x)（或dF(x)/dx、F'(x)）

如前所述，这是个一元实函数集上的映射。

如果将导函数的定义写成如下形式

f(x) = lim[x'→x] [(F(x') - F(x)) / (x' - x)]

则可以看出导函数f(x)其实就是与函数F(x)交点为(x,F(x))和(x',F(x'))的割线之斜率在x'→x时的极限，即过点(x,F(x))的切线斜率。这就是导函数的几何意义。

我们已经知道，导函数可表示成f(x) = dF(x)/dx。其中dF(x)/dx原本只是个“符号”，是映射d/dx F(x)的另一种表示。如果考虑函数F(x)过点(x,F(x))的切线上的点，其切线上任意两点的差分商∆y/∆x都等于f(x)，换种写法为

∆y = f(x)∆x （= F'(x)∆x）

令差分无限小，且用dy和dx代之，便有

dy = f(x)dx （= F'(x)dx）

这就是所谓的微分形式（简称微分）。现在分析一下函数F(x)的差分和相应切线差分（或微分）的误差，即

∆F(x) - F'(x)∆x = F(x+∆x) - F(x) - F'(x)∆x

除∆x得

(∆F(x) - F'(x)∆x)/∆x = (F(x+∆x) - F(x))/∆x - F'(x)

若F(x)存在导函数（或可导），取极限得下式

lim[∆x→0] [(∆F(x) - F'(x)∆x)/∆x] = 0

即(∆F(x) - F'(x)∆x)是较之∆x的高阶无穷小量，表示为

∆F(x) - F'(x)∆x = o(∆x)

或 ∆F(x) = F'(x)∆x + o(∆x)

数学上称此为可微，直接表示成

dF(x) = F'(x)dx

明显可知，一个函数可微的充分必要条件是可导。

由单侧极限可定义相应的单侧导数，在此不作详述。

高阶微分（导数）是微分的微分（导函数的导数），具体内容在此略。

下面分几方面说明微分或导数的相关性质

一）导数的运算法则

1）导数算子的线性特性

d/dx (a f(x) + b g(x)) = a d/dx f(x) + b d/dx g(x)

2）乘法运算法则

d/dx (f(x)g(x)) = g(x) d/dx f(x) + f(x) d/dx g(x)

3）除法运算法则

d/dx (f(x)/g(x)) = (g(x) d/dx f(x) - f(x) d/dx g(x))/g(x)^2

4）反函数运算法则

如果函数f(x)存在导函数d/dx f(x)且存在可导的反函数，则其反函数的导函数是

d/dx f⁻¹(x) = 1/(d/dy f(y))

其中，x=f(y)。

显然，反函数的导数与原函数之导数呈倒数关系，这容易从“符号”关系dx/dy = 1/(dy/dx)中看到。

5）复合函数运算法则

如果函数f(x)和g(u)存在导函数，则其复合函数g(f(x))的导函数是

d/dx g(f(x)) = d/du g(u) d/dx f(x)

这叫复合函数的导数链乘法则，这也容易从“符号”关系dy/dx = (dy/du)(du/dx)中看到。

由上述五个运算法则可知，初等函数的导函数在其自然定义域内存在且可解析求解。

二）微分中值定理（简单罗列）

1）费马引理

2）罗尔定理

3）拉格朗日中值定理

4）柯西中值定理

三）罗必塔法则

针对待定型（0/0）的极限求解，有如下罗必塔法则

设f(x)和g(x)在点x0上都是无穷小量且可导，若g(x)的导函数在x0点的某领域内非零且f'(x)/g'(x)连续，则有

lim[x→x0] [f(x)/g(x)] = lim[x→x0] [f'(x)/g'(x)] = f'(x0)/g'(x0)

四）泰勒级数（展开）

泰勒级数是个(x-x0)的多项式，形式为

∑[k=0,n] ak (x-x0)^k

其特点是在x=x0点上泰勒级数的k≤n阶导数和与之相应的函数f(x)的k阶导数相等。显然

a）0次泰勒级数展开

f(x0)

与函数f(x)在x=x0点上有相同的函数值。

b）1次泰勒级数展开

f(x0) + f'(x0)(x-x0)

在前基础上，与函数f(x)在x=x0点上有相同的一阶导数，即斜率相同。

c）2次泰勒级数展开

f(x0) + f'(x0)(x-x0) + (f''(x0)/2)(x-x0)^2

同样在前基础上，还与函数f(x)在x=x0点上有相同的二阶导数，即曲率相同。

....等等。

泰勒展开是分析和近似计算的有力工具，具体相关内容在此略。

最后列出几个基本初等函数的导函数

1）f(x) = x^μ

d/dx f(x) = μx^(μ-1)

2）f(x) = e^x

d/dx f(x) = e^x

3）f(x) = sin(x)

d/dx f(x) = cos(x)