|
昨天写了一篇文章：洛必达法则—蕴涵在黑暗之中的极限法则！有网友留言，希望我能给出具体的解法。今天我们就来看看，洛必达法则失效的时候，我们怎么处理！我们通过具体的例题来看看如何处理！ 第一题： 遇到这种题，有的同学可能是给出下面的这种解法： 最后的结果是1，那么这种解法对不呢？不对，为什么不对。因为sin(1/x),在x→0过程中，1/x为无穷大，并不能使用等价无穷大替换，即sin(1/x)~1/x。如果是x→∞过程中，sin(1/x)~1/x是成立的。但是这个题目中是x→0。我们可以通过图像来看看sin(1/x)在0的一个邻域内图像： 将邻域缩小： 越靠近0的位置，其振荡越剧烈，我们根本无法窥探其真实的图像变化。 但是我们从图中可以看到，越靠近于0的过程中，sin(1/x)的值是有界的。因此 为无穷小数乘以有界函数，结果为无穷小，结果为0. 上述处理的方式为：化简先行！ 我们再来看看第二个例子： 我们先用倒代换变化一下： 然后再用洛必达法则：
那么，我们就要问了？为什么要这样处理？为什么？ 是因为，
这个公式中，分子是一个简单函数，而分母是一个复杂函数。就感觉是一个“头轻脚重”的样子，这样的公式是比较稳定的，很不容易通过洛必达法则求出。通过倒代换之后：
就消除了“头轻脚重”的影响，变成了“头重脚轻”的样子，这样子的事物本来就容易倒嘛，那就导它！同样的，遇到arcsinx,arctanx等这样的函数就是比较复杂的，是因为求导出来比较复杂，所以一般我们将其放在分子的地方来处理。如果是指数函数，一般来说就比较简单一点，一般放在分母就可以了。 所以这个题的处理方式是：倒代换！ 我们再来看第三题：
其实这个比较容易看出结果来，因为分子是无穷大减无穷小，分母是无穷大加无穷小。在无穷大面前，任何的常数其实都失去了意义。就好比马云有几千亿的资产，你送给他几百万块钱，对于他来讲，这是毫无意义的。所以这个函数的极限就是1。如果是要给出具体的处理方式，我们可以采用，分子分母同时乘以一个非0因子来解决。
所以解决的方式是：分子分母同时乘以一个非零因子来解决。 当然还有更多的方法和技巧来处理，在此我就不用继续多说，后续发文在继续讨论。最后我要说两点：一是洛必达法只是一种简化运算极限的方式，如果采用这种方式将题目变得更加复杂了，说明此时用洛必达的条件还不是时候，因为解题的核心是简单化。二是对于判断一个题首先该不该让洛必达上场，这个要试了才知道，试了之后发现越来越复杂，或者极限不存在，这说明还不能用它，因此该方法具有滞后性，就是试验了才能知道能不能先用，当然凭借一定的经验可以做到一定的预判。如果发现洛必达实效的时候，最好是通过变化形式再用洛必达法则。变化的形式有很多，有化简、倒代换（分子分母变化，或者是将x→∞转变为1/x→0）、分子分母同时乘以一个因式、等价无穷小、泰勒展开等等。具体的方式，后面我写文，专题来说明。有什么好的建议，欢迎大家留言，有空就会给大家回复。 |
|
|
