【含义】 在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】 总量÷份数=1份数量 1份数量×所占份数=所求几份的数量 另一总量÷(总量÷份数)=所求份数
【解题思路和方法】 先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。
例1 买5支铅笔要0.6元钱,买16支同样的铅笔,需要多少钱?
解:(1)买1支铅笔多少钱? 0.6÷5=0.12(元) (2)买16支铅笔需要多少钱? 0.12×16=1.92(元) 列成综合算式 0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元) 答:需要1.92元。
例2 3台拖拉机3天耕地90公顷,照这样计算,5台拖拉机6天耕地多少公顷?
解:(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷? 90÷3÷3=10(公顷) (2)5台拖拉机6天耕地多少公顷? 10×5×6=300(公顷) 列成综合算式 90÷3÷3×5×6=10×30=300(公顷) 答:5台拖拉机6天耕地300公顷。
【含义】 有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】 总量÷一个数量=倍数 另一个数量×倍数=另一总量
【解题思路和方法】 先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。
例1 100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜将3700千克,可以榨油多少?
解:(1)3700千克是100千克的多少倍? 3700÷100=37 (2)可以榨油多少千克? 40×37=1480(千克) 列成综合算式40×(3700÷100)=1480(干克) 答:可以榨油1480千克。
例2 今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵,照这样计算,全县48000名师生共植树多少棵?
解:(1)48000名是300名的多少倍? 48000÷300=160 (2)共植树多少棵? 400×160=64000(棵) 列成综合算式 400×(48000÷300)=64000(棵) 答:全县48000名师生共植树64000棵。
【含义】 解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】 1份数量×份数=总量 总量÷1份数量=份数 总量÷另一份数=另一每份数量
【解题思路和方法】 先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。
例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布,现在可以做多少套?
解:(1)这批布总共有多少米? 3.2×791=2531.2(米) (2)现在可以做多少套? 2531.2÷2.8=904(套) 列成综合算式3.2×791÷2.8=904(套) 答:现在可以做904套。
例2 小华每天读24页书,12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书,几天可以读完《红岩》?
解:(1)《红岩》这本书总共多少页? 24×12=288(页) (2)小明几天可以读完《红岩》? 288÷36=8(天) 列成综合算式24×12÷36=8(天) 答:小明8天可以读完《红岩》。
【含义】 已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。
【数量关系】 大数=(和十差)÷2 小数=(和一差)÷2
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。
例1 甲、乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人?
解:甲班人数=(98+6)÷2=52(人) 乙班人数=(98-6)÷2=46(人) 答:甲班有52人,乙班有46人。
例2 长方形的长和宽之和为18厘米,长比宽多2厘米,求长方形的面积。
解:长=(18+2)÷2=10(厘米) 宽=(18-2)÷2=8(厘米) 长方形的面积=10×8=80(平方厘米) 答:长方形的面积为80平方厘米。
【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】 总和÷(几倍+1)=较小的数 总和-较小的数=较大的数 较小的数×几倍=较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例1 果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵?
解:(1)杏树有多少棵? 248÷(3+1)=62(棵) (2)桃树有多少棵? 62×3=186(棵) 答:杏树有62棵,桃树有186棵。
例2 东、西两个仓库共存粮480吨,东库存粮数是西库存粮数的1.4倍,求两库各存粮多少吨?
解:(1)西库存粮数=480÷(1.4+1)=200(吨) (2)东库存粮数=480-200=280(吨) 答:东库存粮289吨,西库存粮209吨。
【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】 两个数的差÷(几倍-1)=较小的数 较小的数×几倍=较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?
解:(1)杏树有多少棵? 124÷(3-1)=62(棵) (2)桃树有多少棵? 62×3=186(棵) 答:果园里杏树是62棵,桃树是186棵。
例2 爸爸比儿子大27岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的4倍,求父子二人今年各是多少岁?
解:(1)儿子年龄=27÷(4ー1)=9(岁) (2)爸爸年龄=9×4=36(岁) 答:父子ニ人今年的年龄分别是36岁和9岁。
【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的増长在发生变化。
【数量关系】 年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
例1 爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?
解:35÷5=7 (35+1)÷(5+1)=6 答:今年爸爸的年龄是亮亮的7倍,明年爸爸的年龄是亮亮的6 倍。
例2 母亲今年37岁,女儿今年7岁,几年后母亲的年龄是女儿的4倍?
解:(1)母亲比女儿的年龄大多少岁? 37ー7=30(岁) (2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍? 30÷(4-1)-7=3(年) 列成综合算式(37-7)÷(4-1)-7=3(年) 答:3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
【含义】 按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】 线形植树 棵数=距离÷棵距+1 环形植树 棵数=距离÷棵距 方形植树 棵数=距离÷棵距-4 三角形植树 棵数=距离÷棵距-3 面积植树 棵数=面积÷(棵距×行距)
【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。
【数量关系】 第一鸡兔同笼问题: 假设全都是鸡,则有 兔数-(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2) 假设全都是兔,则有 鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)
第二鸡兔同笼问题: 假设全都是鸡,则有 兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2) 假设全都是兔,则有 鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)
【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡;然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类向题也叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。
例1 长毛兔子和芦花鸡,鸡兔圏在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?
解:假设35只全为免,则 鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只) 兔数=35-23=12(只) 也可以先假设35只全为鸡,则 兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只) 鸡数=35-12=23(只) 答:有鸡23只,有兔12只。
例2 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本3.20元,日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?
解:此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设4本全都是日记本,则有 作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本) 日记本数=45-15=30(本) 答:作业本有15本,日记本有30本。
【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题
【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数,再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法,最常用的是“短除法”。
例1 一张硬纸板长60厘米,宽56厘米,现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形,不许有剩余。问正方形的边长是多少?
解:硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。 60和56的最大公约数是4。 答:正方形的边长是4厘米。
例2 一盒围棋子,4个、4个地数多1个,5个、5个地数多1个,6个、6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间,求棋子总数。
解:如果从总数中取出1个,余下的总数便是4、5、6的公倍数。 因为4、5、6的最小公倍数是60,又知棋子总数在150到200之间,所以这个总数为 60×3+1=181(个) 答:棋子的总数是181个。
[方法:总数的差÷所分的差=人数]
【含义】 根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或者两次都有余,或者两次都不足。求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】 一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有: 参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差 如果两次都盈或都亏,则有: 参加分配总人数=(大盈一小盈)÷分配差 参加分配总人数=(大亏ー小亏):分配差
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1 给幼儿园小朋友分苹果,若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?
解:按照“参加分配的总人数=(盈+亏)÷分配差”的数量关系: (1)有小朋友多少人? (11+1)÷(4+3)=12(人) (2)有多少个苹果? 3×12+11=47(个) 答:有小朋友12人,有47个苹果。
例2 学校组织春游,如果每辆车坐40人,就余下30人;如果每辆车坐45人,就刚好坐完。问有多少车?多少人?
解:本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”,于是就有 (1)有多少车? (30-0)÷(45-40)=6(辆) (2)有多少人? 40×6+30=270(人) 答:有6辆车,有270人
(一)相遇问题。[路程和÷速度=相遇时间]
【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】 相遇时间=总路程:(甲速+乙速) 总路程=(甲速+乙速)×相遇时间
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。
例1 南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇?
解:392÷(28+21)=8(小时) 答:经过8小时两船相遇。
(二)追及问题。[路程差÷速度差=追及时间]
【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做迫及问题。
【数量关系】 追及时间=追及路程÷(快速-慢速) 追及路程=(快速-慢速)×追及时间
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例1 好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?
解:(1)劣马先走12天能走多少千米? 75×12=900(千米) (2)好马几天追上劣马? 900÷(120-75)=20(天) 列成综合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天) 答:好马20天能追上劣马。
(三)相离问题。[速度和×相离时间=两地路程]
1.甲、乙两车同时同地反方向而行。甲每小时行40千米,乙车比甲车每小时快5.5千米,4小时后,两车相距多远?
(四)行船问题。 顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度 |
|