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直角三角形的两个重要定理:性质定理、射影定理及其应用

 当以读书通世事 2018-12-16

直角三角形的两个重要定理:性质定理、射影定理及其应用

性质定理1:在Rt△中,30度角所对的直角边等于斜边的一半。

例题1

直角三角形的两个重要定理:性质定理、射影定理及其应用

答案解析:

第1问简单,证明两个角相等即得两个三角形相似。

直角三角形的两个重要定理:性质定理、射影定理及其应用

第2问有几种方法,这里主要运用“直角三角形30角”的性质来解答,过E作EG丄CF于G,构造含30度角的直角三角形,利用边的关系即可求出CG及EG的长,进一步求得AG的长,然后利用勾股定即求得BE的长。

直角三角形的两个重要定理:性质定理、射影定理及其应用

性质定理2:直角三角形射影定理

所谓射影,就是灯光投影。直角三角形射影定理(又叫欧几里德定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式:如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:

直角三角形的两个重要定理:性质定理、射影定理及其应用

射影定理是一个很有用的定理,在选考内容中占有重要的地位,考查时即可能在小题中用于快速计算,达到秒杀,也可能在解答题中用于计算和证明,提高解题效率。

例题2

直角三角形的两个重要定理:性质定理、射影定理及其应用

答案解析:

第1问要证两条线段相等,只需证两个三角形全等即可,证明如下:

直角三角形的两个重要定理:性质定理、射影定理及其应用

第2问很显然可以运用'射影定理'直接得出,但这是证明题,要有一定的过程,所以证明两个三角形相似,即△CFG∽△BFC而得证。

直角三角形的两个重要定理:性质定理、射影定理及其应用

第3问也可运用'射影定理'得出BC的平方=GB·BF,再与第2问的结论相比即得证。

直角三角形的两个重要定理:性质定理、射影定理及其应用

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