四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.拋物线的准线方程是（）
A．B．C．D．
2.“”是“直线与圆相切”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）
A.4 B.3 C.2 D.1
4．圆和圆的位置关系是（）
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
5．已知是拋物线的焦点，是该拋物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）
A．B．1C．D．
6.设椭圆的右焦点与拋物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程（）
A．B．C．D．
7.在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（）
A．B．C．D．
8．如果实数满足，则的最大值为（）
A．B．C．D．
9.椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，则四边形的周长为（）
A．6B．C．12D．
10．设直线，圆，则下列说法中正确的是（）
A.直线与圆有可能无公共点
B.若直线的一个方向向量为，则
C.若直线平分圆的周长，则或
D.若直线与圆有两个不同交点，则线段的长的最小值为
11．已知椭圆左右焦点分别为，直线与椭圆交于两点（点在轴上方），若满足，则的值等于（）
A．B．3C．2D．
12．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.命题的否定是．
14．过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为．
15.点为双曲线的右焦点，以为圆心的圆过坐标原点，且与双曲线的两渐近线分别交于两点，若四边形是菱形，则双曲线的离心率为．
16.在中，斜边，以的中点为圆心，作半径为2的圆，分别交于两点，令，则的值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知椭圆的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若斜率为1的直线交双曲线于两点，线段的中点的横坐标为，求直线的方程.
18．若命题:方程有两不等正根；:方程无实根.求使为真，为假的实数的取值范围.
19．已知离心率为的椭圆的一个焦点坐标为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，求的取值范围.
20.已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求的方程及的面积.
21.已知斜率为的直线经过点与抛物线（为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.
22.已知左、右焦点分别为的椭圆与直线相交于两点，使得四边形为面积等于的矩形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上一动点（不在轴上）作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:DACBC6-10:BDDCD11、12：CA
二、填空题
13.14.15.216.42
三、解答题
17.解：（1）椭圆的长轴两端点为，得，
又，得，∴.
∴双曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，
由得，
∴，，∴.
∴直线方程为.
18、解:设方程的两根分别为，由
得，所以命题为真时：.
由方程无实根，可知，得，
所以命题为真时：.
由为真，为假，可知命题—真一假，
当真假时，此时；
当假真时，此时，
综上：实数的取值范围是.
19.解：（1）由知所以椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，显然，此时；
当直线的斜率存在时，设，设
联立消得：，
，
由
知；
综上所述：.
20．解：（1）圆的方程可化为，所以圆心为，半径为4.
设，则，
由题设知，故，
即.由于点在圆的内部，
所以的轨迹方程是
（2）由（1）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.
由于，故在线段的垂直平分线上，
又在圆上，从而.
因为的斜率为3,所以的斜率为，故的方程为
又，到的距离为，所以，
，故的面积为.
21.解（1））当时，即
联立消得
由
所以抛物线的标准方程为；
（2）设，则，
则即；
同理：；
.
由在直线上，即（1）；
由在直线上将（1）代入（2）
将（2）代入方程，易得直线过定点
22．解：（1）椭圆的方程为；
（2）设，则以线段为直径的圆的方程为
，
又圆的方程为，
两式相减得直线的方程为.
由得
设，则
设，则且在上单调递增，
所以的面积的取值范围为.
1
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