§2.1.3椭圆的综合问题(二)例1:如图,分别是椭圆的左右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.(1)求椭圆的离心率;(2)已知 的面积为,求的值.??解:(1)由题知是等边三角形,因此,所以?(2)解法1:设方程代入椭圆方程得所以到的距离,由解得解法(2): 设方程代入椭圆方程得解得??解法(3):设方程代入椭圆方程得所以解得变式1:若点在曲线上运动,求的最大值.??解:由题意,设,则( 1)若,即,则当时,取最大值(2)若,即,则当时,取最大值所以?例2:求中心在原点,一个焦点为,且直线被椭圆截得的弦的中点横坐标为 的椭圆方程.解:依题意,设椭圆方程为,则将直线方程与椭圆方程联立,消去得设弦的两个端点为则,即代入,解得,故椭圆方程为?变式2: 已知以原点为中心的椭圆的一个短轴端点为,离心率,是椭圆上的动点,若的坐标分别是,求的最大值.??解:由题设条件知焦点在轴上,故设椭 圆方程为因为,由得,解得从而椭圆方程为又因为两点是椭圆的焦点所以,由基本不等式当且仅当,即点的坐标为时上式取等号所以的最大值为4? 例3:设,在平面坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为,求轨迹的方程,并说明该方程所表示曲线的形状.解:因为,,所以,即当时 ,方程表示两直线,方程为当时,方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆??变式3:已知为椭圆的左右焦点,为椭圆上动点,有以下四个结 论:①的最大值大于3;②的最大值为4;③若过作的外角平分线的垂线,垂足为,则点的轨迹方程是;④若动直线垂直轴,交此椭圆于两点,为 上满足的点,则点的轨迹方程为或.以上结论正确的序号为.②③?例1:椭圆的中心为原点,离心率,一条准线的方程是.(1)求椭圆的标 准方程;(2)设动点满足:,其中是椭圆上的点,直线与的斜率之积为,问:是否存在定点,使得与点到直线的距离之比为定值;若存在,求的坐 标,若不存在,说明理由.解:(1)由,解得故椭圆的标准方程为??(2)设则由得=因为点在椭圆上,所以,故设分别为直线的斜率 ,由题设条件知因此,所以所以点是椭圆上的点,该椭圆的右焦点为,离心率,直线是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点,使得与 点到直线的距离之比为定值. |
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