§2.2.2双曲线的简单几何性质（二）?知识要点：1、直线与双曲线位置关系的判断通过直线与双曲线方程构成的方程组的解的个数判断，具体操作办法
如下：(1)当直线斜率不存在时设直线，双曲线，则若，直线与双曲线有一个公共点；若，直线与双曲线有两个公共点；若，直线与双
曲线没有公共点；(2)当直线斜率存在时，设直线，双曲线则由方程联立得到：当时，方程有一解，此时，直线与渐近线平行；当时，若(
)式中，则直线和双曲线没有公共点；若()式中，则直线和双曲线有一个公共点；若()式中，则直线和双曲线有两个公共点；说明：
联立时也可以消去，保留；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切，可能相交.2、双曲线的弦长公式当直线与双曲线相交时，设交点为，则由(
)式韦达定理可得的值.若直线斜率为，则.若联立方程时消去，则.当直线斜率不存在时，则.=????????????例1：点到定
点的距离.?解：设是点到直线的距离，根据题意点的轨迹就是满足下列条件的方程：由此得将上式两边平方，并化简，得，即所以点的轨迹是长轴
、短轴分别是8、6的双曲线.变式1：已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为，求
椭圆及双曲线的方程.?解：设椭圆方程为则根据题意，双曲线的方程为且满足解方程组得椭圆的方程为，双曲线的方程为??例2：如图，过双
曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求:(1)弦长；(2)的周长(是双曲线的左焦点).解：(1)由已知因为直线的倾斜角是，
且直线经过右焦点所以直线的方程为设则消去得：，由弦长公式得=3(2)∵，∴在双曲线的两支上，且故周长为??注意：本题可进行多
种方式的改编，如：①过双曲线的右焦点的直线交双曲线于两点，若，求直线方程；②过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支有且仅有一个交点，求
直线的斜率的取值范围；③过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线右支仅有一个交点，求双曲线的离心率.?变式2：过原点的直线与双曲线
有两个交点，则直线的斜率的取值范围为.?解：解法一：设直线为，代入双曲线方程，得，要使方程有两个不等实根，则，所以解法二：数形结
合，与渐近线的斜率比较，知直线斜率绝对值应大于渐近线斜率绝对值，即??解：由题意知，直线斜率存在，故设直线的方程为由消去得∵，解得
经检验时，上述方程有实数解(即)∴所求直线方程为解法二：设，则两式相减得即，∴直线方程为检验：由消得，方程有实数解(即)所求直线方
程为解法三：设，因为在椭圆上，所以两式相减，可得所以其余部分同(解法二)?例3：过作直线交双曲线于两点，若是线段的中点，求直线的方
程.变式3：已知双曲线，过点能否作一条直线，与双曲线交于两点，且点是线段的中点？若能，则求出直线的方程.若不能，则说明理由.?解：
设直线由消得由，得解得∴直线方程为此时上面二次方程为故不能作出直线满足条件.?例1：双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别
为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列，且与同向.(1)求双曲线的离心率；(2)设被双曲线所截得的线段的长为4，求
双曲线的方程.?解：(1)设由勾股定理可得得∴，解得，则离心率(2)过直线方程为，与双曲线方程联立.将代入，化简有将数值代入，有，
解得故所求的双曲线方程为??解：(1)设双曲线方程为，由椭圆求得两焦点为∴对于双曲线为双曲线的一条渐近线∴解得∴双曲线的方程为(2
)由题意知直线的斜率存在且不等于零，设的方程：则，∵，∴同理；所以即又消去得当=0时，则直线与双曲线的渐近线平行，不合题意，所以，
由韦达定理有代入式得∴所求点的坐标为?例2：双曲线有相同的焦点，直线为的一条渐近线.(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线交双曲线于两点，交轴于点(与双曲线的顶点不重合)，当，且时，求点的坐标. |
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